Question

Тема: Действие над комплексными числами в показательной и тригонометрической формах. Задание 1. Выполните действия и запишите результат в тригонометрической форме. а) 1+i√3/1-i√3 б) (i -1)^3/i^12+i^31

Answer 1

$a) 1 + \frac{i\sqrt3}{1-i\sqrt3} = \frac{1}{1-i\sqrt3}=\frac{1 + i\sqrt3}{2}=1*(cos\frac{\pi}{3} + i*sin\frac{\pi}{3}) =\\ = cos\frac\pi3 + i*sin\frac\pi3$
$b) \frac{(i-1)^3}{i^{12} + i^{31}} =\frac{-i -3 - 3i-1}{1 - i}=-4*\frac{(1+i)^2}{\sqrt{2}} = -4*i*\sqrt{2} = \\ = 4\sqrt{2}*(cos\frac{3\pi}2 + i*sin\frac{3\pi}2)$

Answer 2

Действие над комплексными числами в показательной и тригонометрической формах

Для решения задания, нам необходимо выполнить действия над комплексными числами, представленными в показательной и тригонометрической формах. Давайте рассмотрим каждое задание по очереди.

Задание 1.a)

Для выполнения действий над комплексными числами в тригонометрической форме, нам необходимо знать основные свойства комплексных чисел и формулы для перехода между показательной и тригонометрической формами.

Представим число 1+i√3 в тригонометрической форме. Для этого мы выразим его в виде r * (cos θ + i sin θ), где r - модуль числа, а θ - аргумент числа.

Для нахождения модуля числа, мы используем формулу: r = √(a^2 + b^2), где a и b - действительная и мнимая части числа соответственно.

В данном случае, a = 1 и b = √3. Подставим значения в формулу и найдем модуль числа:

r = √(1^2 + (√3)^2) = √(1 + 3) = √4 = 2

Теперь найдем аргумент числа. Для этого мы используем формулу: θ = arctan(b / a).

В данном случае, θ = arctan(√3 / 1) = arctan(√3) ≈ 60°.

Таким образом, число 1+i√3 в тригонометрической форме будет выглядеть как 2 * (cos 60° + i sin 60°).

Задание 1.b)

Для выполнения данного задания, нам необходимо найти значение выражения (i - 1)^3 и i^12 + i^31 в тригонометрической форме.

Начнем с выражения (i - 1)^3. Раскроем это выражение:

(i - 1)^3 = i^3 - 3i^2 + 3i - 1

Заметим, что i^2 = -1 и i^3 = -i. Подставим это в выражение:

(i - 1)^3 = -i - 3(-1) + 3i - 1 = -i + 3 + 3i - 1 = 2i + 2

Теперь рассмотрим выражение i^12 + i^31. Заметим, что i^4 = 1, поэтому мы можем переписать выражение следующим образом:

i^12 + i^31 = (i^4)^3 + i^31 = 1^3 + i^31 = 1 + i^31

Далее, мы должны найти значение i^31. Заметим, что i^4 = 1, поэтому мы можем переписать выражение следующим образом:

i^31 = (i^4)^7 * i^3 = 1^7 * (-i) = -i

Таким образом, i^31 равно -i, и мы можем переписать выражение i^12 + i^31:

i^12 + i^31 = 1 + (-i) = 1 - i

Итак, выражение (i - 1)^3 в тригонометрической форме равно 2i + 2, а выражение i^12 + i^31 равно 1 - i.