Question

Среди 8 монет есть десятирублёвые. Сколько среди них десятирублёвых монет, если среди любых пяти монет, по крайней мере, три монеты одинакового достоинства, но нет пяти монет одинакового достоинства?

Answer 1

Ответ:

4 монеты.

Пошаговое объяснение:

Монеты бывают достоинством 1 рубль, 2 рубля , 5 рублей и 10 рублей.

Если среди любых 5 пяти монет нет монет одинакого достоинства, то монет одного достоинства не больше четырех.

Возьмем любые 5 монет. В этой группе должно быть не меньше трех монет достоинства Х и еще две монеты достоинством А и В.

Срели оставшихся четырех может быть только одна монета Х. Если в этой пятерке мы заменим Х на любую из остальных монет, то это значит, что А и В одинаковые и среди не попавших в пятерку тоже есть А. Значит монеты только двух достоинств 10 рублей и А.

Очевидно, их поровну, т.е. 10-ти рублевых монет 4.

Answer 2

Давайте рассмотрим несколько вариантов:

Пусть у нас есть 8 монет. Предположим, что среди них нет десятирублёвых монет. Тогда у нас есть 7 монет, и по условию, среди любых пяти монет, по крайней мере, три монеты одинакового достоинства. Однако это противоречит условию, что нет пяти монет одинакового достоинства. Таким образом, предположение о том, что нет десятирублёвых монет, неверно.

Следовательно, у нас есть хотя бы одна десятирублёвая монета. Предположим, что у нас есть 2 десятирублёвых монеты. Тогда у нас остаётся 6 монет, и по аналогичным рассуждениям, мы приходим к выводу, что у нас есть хотя бы ещё одна десятирублёвая монета. Таким образом, у нас уже не менее 3 десятирублёвых монет.

Если у нас было бы меньше 3 десятирублёвых монет, то среди оставшихся монет (менее 5) не могло бы быть три монеты одинакового достоинства, что противоречит условиям.

Итак, у нас как минимум 3 десятирублёвые монеты среди 8.