Question

←Пожалуйста, помогите, срочно нужно→ На окружности поставлено (в некотором порядке) 10 красных точек и 10 синих. Докажите, что число пар соседних красных точек равно числу пар соседних синих точек.

Answer 1

Будем доказывать от противного. Предположим, что число пар соседних красных точек не равно числу пар соседних синих точек. Без ограничения общности скажем, что число пар соседних красных точек больше. Будем считать, что каждая пара соседних точек начинается с левой точки. Так как число пар соседних красных точек больше числа пар соседних синих красных красных точек, то, так как по 10 пар начинаются с красных и синих точек, пар соседних разноцветных точек, начинающихся с синей точки, больше числа пар соседних разноцветных точек, начинающихся с красной точки. Объединим все точки в "группы" одноцветных подряд стоящих точек. Групп синих и красных точек получилось одинаковое количество, а пара разноцветных точек образуется только на "стыке" двух разноцветных групп, что означает, что пар соседних разноцветных точек, начинающихся с синей точки, столько же, сколько и пар соседних разноцветных точек, начинающихся с красной точки. Противоречие. Значит, число пар соседних красных точек равно числу пар соседних синих точек.

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу. У нас есть окружность, на которой расположены 10 красных точек и 10 синих точек. Нам нужно доказать, что количество пар соседних красных точек равно количеству пар соседних синих точек.

Предположим, что мы расставим эти точки так, чтобы красные и синие точки чередовались (например, RBRBRBRBRB, где R - красная точка, а B - синяя точка). При таком расположении очевидно, что каждая красная точка имеет ровно одну соседнюю красную точку, и каждая синяя точка также имеет ровно одну соседнюю синюю точку. Таким образом, количество пар соседних красных точек равно количеству пар соседних синих точек, и они оба равны 9 (поскольку есть 10 точек каждого цвета, и последняя точка не имеет соседей того же цвета).

Теперь предположим, что точки расставлены случайным образом, но всё равно на окружности 10 красных и 10 синих точек. В таком случае, мы можем рассматривать каждую пару соседних точек отдельно. Если первая точка из пары красная и вторая точка тоже красная, то это увеличит количество пар соседних красных точек на 1. Аналогично, если первая и вторая точки обе синие, это увеличит количество пар соседних синих точек на 1.

Таким образом, каждая пара соседних точек либо увеличит количество пар соседних красных точек, либо количество пар соседних синих точек на 1. Поскольку у нас исходно было по 10 красных и 10 синих точек, и каждая точка может участвовать в ровно одной паре соседних точек, общее количество пар соседних красных точек равно общему количеству пар соседних синих точек.

Таким образом, независимо от расположения точек на окружности, количество пар соседних красных точек всегда равно количеству пар соседних синих точек, и это количество равно 9.