Question

Дана арифметическая прогрессия a 1 , a 2 , … , a n , у которой a 1 = 15 , a n = 4 . Найдите n , если известно, что 1 /(a 1 a 2) + 1 /(a 2 a 3) + 1 /(a 3 a 4 )+ … + 1/( a n − 1 a n) = 11 .

Answer 1

Ответ: 661

Пошаговое объяснение:

$\dfrac{1}{a_1a_2}+\dfrac{1}{a_2a_3}+\dots+\dfrac{1}{a_{n-1}a_n}=-\dfrac{1}{d}\left(\dfrac{1}{a_1(a_1+d)}+\dfrac{1}{(a_1+d)(a_1+2d)}+\dots +$

$\dfrac{1}{(a_1+(n-2)d)(a_1+(n-1)d)}\bigg)=-\dfrac{1}{d}\left(\dfrac{a_1-(a_1+d)}{a_1(a_1+d)}+\dfrac{a_1+d-(a_2+2d)}{(a_1+d)(a_1+2d)}+$

$+\dots +\dfrac{a_1+(n-2)d-(a_1+(n-1)d)}{(a_1+(n-2)d)(a_1+(n-1)d)}\bigg)=-\dfrac{1}{d}\bigg(\dfrac{1}{a_1+d}-\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_1+2d}-\\ \\ -\dfrac{1}{a_1+d}+...+\dfrac{1}{a_1+(n-1)d}-\dfrac{1}{a_1+(n-2)d}\bigg)=\dfrac{1}{d}\bigg(\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{a_n}\bigg)=11\\ \\ d=\dfrac{1}{11}\times \bigg(\dfrac{1}{15}-\dfrac{1}{4}\bigg)\\ \\ d=-\dfrac{1}{60}\\ \\ a_n=a_1+(n-1)d~~\Leftrightarrow~~ n=661$

Answer 2

Решение:

Дано, что арифметическая прогрессия имеет первый член a₁ = 15 и последний член aₙ = 4. Также дано, что:

1 / (a₁ + a₂) + 1 / (a₂ + a₃) + 1 / (a₃ + a₄) + ... + 1 / (aₙ₋₁ + aₙ) = 11.

Мы можем заметить, что в каждом слагаемом у нас есть сумма двух последовательных членов прогрессии. Поэтому мы можем переписать выражение следующим образом:

1 / (a₁ + a₂) + 1 / (a₂ + a₃) + 1 / (a₃ + a₄) + ... + 1 / (aₙ₋₁ + aₙ) = 1 / a₁ + 1 / a₂ + 1 / a₃ + ... + 1 / aₙ₋₁ - (1 / a₂ + 1 / a₃ + 1 / a₄ + ... + 1 / aₙ).

Заметим, что вторая и третья суммы в правой части равны между собой и обозначим их как S. Тогда:

1 / a₁ + S - S = 11.

Так как a₁ = 15, у нас получается:

1 / 15 = 11, 1 = 11 * 15, 1 = 165.

Очевидно, это неверное уравнение, так что мы делаем вывод, что в задаче есть ошибка.

Вывод: Невозможно найти значение n, так как в задаче присутствует ошибка.