Question

Помогите пожалуйста. Найти предел: 1) lim(x ⇒ 0) ㏑(1+x) / tg²√x 2) lim(x⇒0) √1+x^2 -1 / x (пример разделен на х, под корнем только 1+x^2)

Answer 1

Решение смотрите на фотографии

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый предел по отдельности и найдем их значения.

Предел 1: lim(x → 0) ㏑(1+x) / tg²√x

Для начала, давайте вычислим предел функции ㏑(1+x) / tg²√x при x стремящемся к 0.

Начнем с вычисления предела в числителе: lim(x → 0) ㏑(1+x).

Мы можем использовать свойство логарифма, которое гласит, что логарифм от произведения равен сумме логарифмов. Таким образом, мы можем переписать числитель как ㏑(1+x) = ㏑(1) + ㏑(x) = 0 + ㏑(x) = ㏑(x).

Теперь вычислим предел в знаменателе: lim(x → 0) tg²√x.

Мы можем использовать известное тригонометрическое тождество tg²θ = 1 - cos²θ. В данном случае, θ = √x. Таким образом, мы можем переписать знаменатель как tg²√x = 1 - cos²√x.

Теперь мы можем выразить предел в виде: lim(x → 0) ㏑(x) / (1 - cos²√x).

Мы знаем, что cos²θ = 1 - sin²θ. В данном случае, θ = √x. Таким образом, мы можем переписать знаменатель как 1 - cos²√x = 1 - (1 - sin²√x) = sin²√x.

Теперь мы можем выразить предел в виде: lim(x → 0) ㏑(x) / sin²√x.

Для вычисления этого предела, мы можем воспользоваться известным пределом: lim(x → 0) ㏑x / x = 1.

Теперь мы можем применить этот предел к нашему пределу: lim(x → 0) ㏑(x) / sin²√x = 1 / sin²√x.

Затем, мы можем использовать известное тригонометрическое тождество sin²θ = 1 - cos²θ. В данном случае, θ = √x. Таким образом, мы можем переписать знаменатель как 1 - cos²√x = 1 - (1 - sin²√x) = sin²√x.

Теперь мы можем выразить предел в виде: lim(x → 0) 1 / sin²√x = 1 / (1 - cos²√x).

Используя тригонометрическое тождество cos²θ = 1 - sin²θ и подставив его в предел, мы получаем: lim(x → 0) 1 / (1 - cos²√x) = lim(x → 0) 1 / (1 - (1 - sin²√x)) = lim(x → 0) 1 / sin²√x = 1 / (1 - 0) = 1.

Предел 2: lim(x → 0) √(1+x²-1) / x

Теперь рассмотрим второй предел: lim(x → 0) √(1+x²-1) / x.

Мы можем упростить числитель: √(1+x²-1) = √(x²) = x.

Теперь вычислим предел: lim(x → 0) x / x = 1.

Таким образом, ответ на предел равен:

1) lim(x → 0) ㏑(1+x) / tg²√x = 1.

2) lim(x → 0) √(1+x²-1) / x = 1.

Мы получили, что оба предела равны 1.