Question

Y=x+arcty Найти у и у" Производную неявно заданной функции Помогите пожалуйста

Answer 1

Решение в приложенном изображении

Answer 2

Для нахождения производной неявно заданной функции y(x) = x + arctan(y), нам потребуется использовать правило дифференцирования сложной функции.

Для начала, выразим y из уравнения:

y = x + arctan(y)

Теперь продифференцируем обе части уравнения по переменной x:

dy/dx = d(x + arctan(y))/dx

Мы дифференцируем сумму двух слагаемых. Дифференциал первого слагаемого равен dx, поскольку его производная по x равна 1. Для дифференцирования второго слагаемого, воспользуемся цепным правилом:

dy/dx = dx + d(arctan(y))/dx * dy/dx

Теперь найдем производную arctan(y) по y. Это можно сделать с использованием известной производной функции arctan:

d(arctan(y))/dy = 1/(1+y^2)

Подставляем найденное значение в уравнение:

dy/dx = dx + (1/(1+y^2)) * dy/dx

Теперь выразим dy/dx через известные величины:

dy/dx - (1/(1+y^2)) * dy/dx = dx

(1 - (1/(1+y^2))) * dy/dx = dx

Упростим:

(1+y^2-1)/(1+y^2) * dy/dx = dx

y^2/(1+y^2) * dy/dx = dx

Теперь найдем отношение dy/dx:

dy/dx = dx / (y^2/(1+y^2))

dy/dx = dx * (1+y^2) / y^2

Таким образом, мы получили явное выражение для производной неявно заданной функции y(x) = x + arctan(y):

dy/dx = dx * (1+y^2) / y^2