Question

Докажите, что многочлен -а² 6а-2b²-10 принимает только отрицательные значения.

Answer 1

A² и b² - имеют неотрицательные значения. Значит -a² и -2b² - или отрицательные или = 0 
6 a > a² 
a (a - 6) < 0
a ∈ (0; 6)
Максимальное значение многочлена -a²+6a составляет 9 (т.к. вершина параболы находится в точке (3; 9))
ВЕСЬ Многочлен принимает максимальное значение при a = 3, b = 0 и это значение равно 9 - 10 = -1
Значит весь многочлен принимает только отрицательные значения.  

Answer 2

Factoring the Polynomial

To prove that the polynomial -a² + 6a - 2b² - 10 takes only negative values, we can factorize it and analyze its behavior.

The given polynomial can be factored as: -a² + 6a - 2b² - 10 = -(a² - 6a + 10) - 2b²

Completing the Square

To further analyze the behavior of the polynomial, let's complete the square for the quadratic expression (a² - 6a + 10).

The completed square form of the quadratic expression is: (a - 3)² + 1

Analyzing the Expression

From the completed square form, we can see that (a - 3)² is always non-negative, and when 1 is added to it, the expression is always positive.

Additionally, the term -2b² is always non-positive, as it is the negative of a square term.

Conclusion

Combining these observations, we can conclude that the given polynomial -a² + 6a - 2b² - 10 takes only negative values for all real values of a and b.

This analysis demonstrates that the polynomial indeed takes only negative values, as requested.