Question

Исследовать на экстремум функцию z=xy(12-x-y)

Answer 1

z(x, y) = xy(12 – x – y) = 12xy – x2y – xy2,  

∂z/∂x = 12y – 2xy – y2 = y(12 – 2x – y),  

∂z/∂y = 12x – x2 – 2xy = x(12 – x – 2y),

∂z/∂x = y(12 – 2x – y) = 0, ∂z/∂y = x(12 – x – 2y) = 0 при x1 = 0, y1 = 0, x2 = 4, y2 = 4,

то M1(0; 0), M2(4; 4) – стационарные точки. В этих точках dz = 0, и выполняются необходимые условия экстремума.

Поскольку

∂2z/∂x2 = -2y,

∂2z/∂y2 = -2x,

∂2z/(∂x∂y) = 12 – 2x – 2y,

и в точке M1(0; 0)

A = ∂2z(0; 0)/∂x2 = -2 ∙ 0 = 0,

B = ∂2z(0; 0)/(∂x∂y) = 12 – 2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 = 12,

C = ∂2z(0; 0)/∂y2 = -2 ∙ 0 = 0,

∆ = AC – B2 = 0 – (12)2 = -144 < 0, то точка M1 не является точкой экстремума.

Поскольку

в точке M2(4; 4)

A = ∂2z(4; 4)/∂x2 = -2 ∙ 4 = -8 < 0,

B = ∂2z(4; 4)/(∂x∂y) = 12 – 2 ∙ 4 – 2 ∙ 4 = -4,

C = ∂2z(4; 4)/∂y2 = -2 ∙ 4 = -8 < 0,

∆ = AC – B2 = (-8) ∙ (-8) – (-4)2 = 64 – 16 = 48 > 0, то точка M2 является точкой локального максимума. Значение функции в этой точке равно

z(4; 4) = 4 ∙ 4 ∙ (12 – 4 – 4) = 16 ∙ 4 = 64.

Answer 2

Чтобы исследовать функцию z = xy(12 - x - y) на экстремум, мы можем воспользоваться методом математического анализа, который включает в себя нахождение частных производных и анализ критических точек. Давайте начнем с этого:

1. Найдем частные производные функции z по переменным x и y:

   ∂z/∂x = y(12 - x - y) - xy ∂z/∂y = x(12 - x - y) - xy

2. Теперь найдем критические точки, где обе частные производные равны нулю:

   ∂z/∂x = 0: y(12 - x - y) - xy = 0

   ∂z/∂y = 0: x(12 - x - y) - xy = 0

3. Решим систему уравнений, чтобы найти критические точки. Мы можем упростить систему следующим образом:

   y(12 - x - y) - xy = 0 x(12 - x - y) - xy = 0

   Раскроем скобки и объединим подобные члены:

   12y - xy - y^2 - xy = 0 12x - xy - x^2 - xy = 0

   Это можно дальше упростить:

   12y - 2xy - y^2 = 0 12x - 2xy - x^2 = 0

4. Теперь решим эту систему уравнений для x и y. Мы также можем упростить ее, разделив оба уравнения на 2:

   6y - xy - (y^2)/2 = 0 6x - xy - (x^2)/2 = 0

5. Решим систему уравнений. Начнем с первого уравнения:

   6y - xy - (y^2)/2 = 0

   Вынесем общий множитель y:

   y(6 - x - y/2) = 0

   Это уравнение имеет два решения:

   y = 0 6 - x - y/2 = 0

   Из первого уравнения получаем y = 0. Теперь подставим это во второе уравнение:

   6 - x - 0/2 = 0 6 - x = 0

   Отсюда получаем x = 6.

   Таким образом, у нас есть одна критическая точка (x, y) = (6, 0).

6. Для анализа экстремума в этой точке, мы можем воспользоваться вторыми производными (матрицей Гессе), но в данном случае ограничимся анализом.

   Заметим, что в исходной функции z = xy(12 - x - y) нет ограничений на x и y, поэтому у нас нет граничных условий.

7. Проверим значение функции z в найденной критической точке:

   z(6, 0) = 6 * 0 * (12 - 6 - 0) = 0

   Функция достигает экстремума в точке (6, 0) и этот экстремум является минимумом равным нулю.

Таким образом, функция z = xy(12 - x - y) достигает минимума в точке (6, 0) со значением z = 0.