Question

Помогите пожалуйста решить неопределенный интеграл (10-sin2x) от пи/2 до пи/4(3е^x-12x) от 1 до -1(16x+1/2e^x) от 0 до -1(3x^3-2x) от 1 до -2/3

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Для решения данной задачи посчитаем каждый из неопределенных интегралов по отдельности, а затем подставим граничные значения и вычислим итоговый результат.

1. Начнем с вычисления интеграла \(\int (10 - \sin(2x)) \, dx\). Для этого раскроем скобки и проинтегрируем каждый член по отдельности:

\[ \int (10 - \sin(2x)) \, dx = \int 10 \, dx - \int \sin(2x) \, dx = 10x + \frac{1}{2}\cos(2x) + C, \]

где \(C\) - постоянная интеграции.

2. Теперь вычислим интеграл \(\int (3e^x - 12x) \, dx\). Проинтегрируем каждый член по отдельности:

\[ \int (3e^x - 12x) \, dx = 3\int e^x \, dx - 12\int x \, dx = 3e^x - 6x^2 + C. \]

3. Следующий интеграл \(\int (16x + \frac{1}{2}e^x) \, dx\) вычислим аналогично:

\[ \int (16x + \frac{1}{2}e^x) \, dx = 8x^2 + \frac{1}{2}e^x + C. \]

4. Наконец, интеграл \(\int (3x^3 - 2x) \, dx\):

\[ \int (3x^3 - 2x) \, dx = \frac{3}{4}x^4 - x^2 + C. \]

Теперь подставим граничные значения для каждого из интегралов и найдем их значения:

1. Для \(\int_{\pi/2}^{\pi/4} (10 - \sin(2x)) \, dx\): \[ = \left[ 10x + \frac{1}{2}\cos(2x) \right]_{\pi/2}^{\pi/4} \\ = (10(\pi/4) + \frac{1}{2}\cos(\pi/2)) - (10(\pi/2) + \frac{1}{2}\cos(\pi)) \\ = (5\pi + 0) - (5\pi - 0) \\ = 0. \]

2. Для \(\int_{1}^{-1} (3e^x - 12x) \, dx\): \[ = (3e^x - 6x^2) \Big|_{-1}^{1} \\ = (3e^1 - 6(1)^2) - (3e^{-1} - 6(-1)^2) \\ = (3e - 6) - \left(\frac{3}{e} + 6\right) \\ = -3 + \frac{3}{e}. \]

3. Для \(\int_{0}^{-1} (16x + \frac{1}{2}e^x) \, dx\): \[ = \left(8x^2 + \frac{1}{2}e^x\right) \Big|_{0}^{-1} \\ = \left(8(0)^2 + \frac{1}{2}e^0\right) - \left(8(-1)^2 + \frac{1}{2}e^{-1}\right) \\ = \frac{1}{2} - \left(8 + \frac{1}{2e}\right) \\ = -\frac{15}{2} - \frac{1}{2e}. \]

4. Для \(\int_{1}^{-2/3} (3x^3 - 2x) \, dx\): \[ = \left(\frac{3}{4}x^4 - x^2\right) \Big|_{1}^{-2/3} \\ = \left(\frac{3}{4}\left(\frac{-2}{3}\right)^4 - \left(\frac{-2}{3}\right)^2\right) - \left(\frac{3}{4}(1)^4 - (1)^2\right) \\ = \frac{11}{27} - \frac{7}{4}. \]

Теперь сложим полученные значения:

\[ 0 + \left(-3 + \frac{3}{e}\right) + \left(-\frac{15}{2} - \frac{1}{2e}\right) + \left(\frac{11}{27} - \frac{7}{4}\right). \]

Для упрощения этого выражения, можно привести все к общему знаменателю и сложить числители:

\[ \frac{1}{e} - \frac{1}{2e} - \frac{15}{2} + \frac{11}{27} - \frac{189}{27} = \frac{12 - 27 - 2025 + 99 - 3564}{54} = \frac{-5565}{54} = -\frac{1855}{18}. \]

Итак, значение данного определенного интеграла равно \(-\frac{1855}{18}\).