Question

Помогите,пожалуйста,найти общее решение диференциального уравнения 1) (x+1) sin yy' = cos y * x^2 2) xy' - 2y / lnx = 1

Answer 1

Решения на 2-х фотографиях

Answer 2

Конечно, давайте найдем общее решение для каждого из данных дифференциальных уравнений.

1. Уравнение (x+1)sin(y)y' = cos(y)x^2: Сначала перепишем уравнение: (x+1)sin(y)y' = cos(y)x^2 sin(y)y' = (cos(y)x^2) / (x+1)

Теперь можно попробовать разделить переменные: sin(y) / cos(y) dy = (x^2 / (x+1)) dx

Интегрируя обе стороны, получим: ∫(sin(y) / cos(y)) dy = ∫(x^2 / (x+1)) dx

Для левой стороны используем тригонометрическую подстановку: z = cos(y), dz = -sin(y) dy. Тогда интеграл для левой стороны будет: -∫(1/z) dz = -ln|z| + C1, где C1 - произвольная постоянная.

Для правой стороны выполним интегрирование: ∫(x^2 / (x+1)) dx Сделаем замену переменной: u = x+1, du = dx. ∫(u^2 - u) du = (u^3 / 3 - u^2 / 2) + C2, где C2 - ещё одна произвольная постоянная.

Теперь объединим обе части уравнения и подставим обратную тригонометрическую функцию для z (cos(y)): -ln|cos(y)| + C1 = (u^3 / 3 - u^2 / 2) + C2

Теперь, чтобы найти общее решение, можно избавиться от логарифма и выразить cos(y): -ln|cos(y)| = (u^3 / 3 - u^2 / 2) + C2 - C1

|cos(y)| = exp(C2 - C1) * exp(u^3/3 - u^2/2)

Теперь раскроем абсолютное значение, учитывая, что exp(C2 - C1) - это некая константа C3: cos(y) = C3 * exp(u^3/3 - u^2/2)

Теперь вернемся к переменным x и y, используя z = cos(y) и u = x+1: cos(y) = C3 * exp((x+1)^3/3 - (x+1)^2/2)

2. Уравнение xy' - 2y/ln(x) = 1: Сначала перепишем уравнение в стандартной форме: xy' - 2y = 1ln(x)

Теперь можно попробовать разделить переменные: xy' - 2y = 1ln(x) xy' = 2y + 1ln(x)

Теперь разделим обе стороны на x(2y + 1ln(x)): y' = (2y + 1ln(x)) / x

Это дифференциальное уравнение можно решить с помощью метода разделения переменных или метода интегрирующего множителя. Но оно не линейное и неоднородное, поэтому нет простого общего решения в виде элементарных функций. Решение можно записать с использованием интегральной функции Эйлера:

y(x) = x^2(∫(x^-2exp(∫(1/x)dx))dx + C)

Где ∫(x^-2exp(∫(1/x)dx))dx - это интегральная функция Эйлера, а C - произвольная постоянная.