Question

Маша взяла два натуральных числа, сумма которых равна 2017, и увеличила каждое из них на 70. Перемешивая полученные числа, Маша увидела, что их произведение тоже оканчивается на 2017. Могла ли Маша получить такой результат или она допустила ошибку?

Answer 1

Сумма может быть нечетной, только если мы складываем четное и нечетное число. если к четному и нечетному числу прибавить четное, то они останутся четными и нечетными соответсвенно.
если четное число умножить на нечетное, получается четное число. а 2017- нечетное. Вывод: Маша допустила ошибку.

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу более детально.

Пусть Маша взяла два натуральных числа и назвала их a и b, так что a + b = 2017.

Затем Маша увеличила каждое из чисел на 70, и мы получили a + 70 и b + 70.

Теперь Маша перемешала эти числа и утверждает, что их произведение оканчивается на 2017.

Мы можем записать это условие в виде уравнения:

(a + 70)(b + 70) ≡ 2017 (mod 10)

(mod 10 означает остаток от деления на 10).

Раскроем скобки:

ab + 70a + 70b + 4900 ≡ 2017 (mod 10)

Теперь давайте упростим это уравнение, учитывая, что a + b = 2017:

ab + 70(a + b) + 4900 ≡ 2017 (mod 10)

ab + 70(2017) + 4900 ≡ 2017 (mod 10)

ab + 141190 + 4900 ≡ 2017 (mod 10)

ab + 146090 ≡ 2017 (mod 10)

Теперь давайте рассмотрим остаток от деления ab + 146090 на 10. Остаток от деления a и b на 10 равен остатку от деления их суммы на 10 (так как сумма a + b делится на 10), поэтому остаток от деления ab + 146090 на 10 также равен остатку от деления 2017 на 10.

Остаток от деления 2017 на 10 равен 7. Таким образом, у нас есть уравнение:

ab + 146090 ≡ 7 (mod 10)

Теперь давайте подумаем, можно ли найти такие натуральные числа a и b, чтобы это уравнение выполнилось. Наибольший возможный остаток от деления ab + 146090 на 10 - это 9 (когда ab = 9 и 146090 = 0), но это не равно 7. Таким образом, Маша допустила ошибку, и такой результат невозможен.