Question

Задача по теории вероятности. Пуассон и Муавр-Лаплас. На АТС поступают в среднем 12 заказов в минуту. Найти вероятность того, что за 20с. поступят: а.) ровно 2 заказа; б.) не менее 2 заказов.

Answer 1

Р(k)=e^(-a)* a^k/k! - распределение Пуассона
а= 12/3 = 4 звонка за 20 секунд
Р(0)= е^(-4)=0.0183
Р(1)= е^(-4)*4=0.0734

Р(2)=е^(-4)*4^2/2=0.147
Р(не менее 2) = 1-Р(0)-Р(1)=0.908

Answer 2

Для решения этой задачи используем распределение Пуассона, так как оно подходит для моделирования числа событий, происходящих в определенный промежуток времени, при условии, что события происходят случайным образом и с фиксированной средней интенсивностью. В данном случае, среднее число заказов в минуту равно 12.

Распределение Пуассона задается формулой:

P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!

где:

• P(X = k) - вероятность того, что произойдет k событий,
• λ (лямбда) - среднее число событий, происходящих в единицу времени (в данном случае 12 заказов в минуту),
• e - основание натурального логарифма (приближенно равно 2,71828),
• k - число событий.

а.) Найти вероятность того, что за 20 секунд поступят ровно 2 заказа:

Сначала найдем среднее количество заказов за 20 секунд. Для этого разделим среднее количество заказов в минуту на 3 (20 секунд в минуте):

Среднее количество заказов за 20 секунд: λ = 12 заказов/мин * (20 сек / 60 сек) = 4 заказа.

Теперь используем формулу Пуассона:

P(X = 2) = (e^(-4) * 4^2) / 2! = (e^(-4) * 16) / 2 = (2,71828^(-4) * 16) / 2 ≈ 0,1462.

б.) Найти вероятность того, что за 20 секунд поступит не менее 2 заказов:

P(X ≥ 2) = 1 - P(X < 2)

Теперь найдем P(X < 2) и вычтем его из 1:

P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1)

Для P(X = 0) используем формулу Пуассона с λ = 4 и k = 0:

P(X = 0) = (e^(-4) * 4^0) / 0! = (e^(-4) * 1) / 1 ≈ 0,0183.

Для P(X = 1) используем формулу Пуассона с λ = 4 и k = 1:

P(X = 1) = (e^(-4) * 4^1) / 1! = (e^(-4) * 4) / 1 ≈ 0,0733.

Теперь найдем P(X < 2):

P(X < 2) = 0,0183 + 0,0733 ≈ 0,0916.

Теперь найдем P(X ≥ 2):

P(X ≥ 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - 0,0916 ≈ 0,9084.

Итак, вероятность того, что за 20 секунд поступит не менее 2 заказов, составляет приблизительно 0,9084.