Question

Найти все значения а, при которых функция y=-2x^3+15(a+3)*x^2-150x+10 убывает на всей численной прямой

Answer 1

Y=-2x³+15(a+3)*x²-150x+10

y'(x)=(-2x³+15(a+3)*x²-150z+10)'=-6x²+30(a+3)*x-150

если f'(x)<0, то функция f(x) убывает некотором промежутке (a;b) из области определения функции.

y'(x)<0. -6x²+30(a+3)x-150<0
f(x)=-6x²+30(a+3)x-150 квадратичная функция, график парабола, ветви направлены вниз.
по условию, функция принимает убывающая, => производная должна быть отрицательна.  т.е. нет точек пресечения параболы с осью Ох. 
D<0
D=(30(a+3))²-4*(-6)*(-150)=900(a+3)²-900*4=900*((a+3)²-4)
900*((a+3)²-4)<0
(a+3)²-4<0, (a+3)²-2²<0
(a+3-2)*(a+3+2)<0
(a+1)*(a+5)<0
      +                -                +
------------(-5)----------(-1)---------------->a

a∈(-5;-1)

Answer 2

Чтобы найти все значения параметра "a", при которых функция y = -2x^3 + 15(a+3)x^2 - 150x + 10 убывает на всей числовой прямой, нужно определить условия убывания функции. Функция убывает на всей числовой прямой, если её производная отрицательна для всех значений x.

Сначала найдем производную данной функции:

y = -2x^3 + 15(a+3)x^2 - 150x + 10

y' = d/dx [-2x^3] + d/dx [15(a+3)x^2] - d/dx [150x] + d/dx [10]

y' = -6x^2 + 30(a+3)x - 150

Теперь мы хотим, чтобы эта производная была отрицательной для всех значений x. То есть:

-6x^2 + 30(a+3)x - 150 < 0 для всех x

Теперь давайте определим условия для убывания функции:

1. Начнем с первого слагаемого: -6x^2. Это слагаемое всегда отрицательно или равно нулю для всех действительных x. То есть -6x^2 <= 0.

2. Второе слагаемое: 30(a+3)x. Чтобы это слагаемое было отрицательным для всех x, 30(a+3) должно быть отрицательным. То есть:

30(a+3) < 0

Теперь решим это неравенство:

a + 3 < 0

a < -3

3. Третье слагаемое: -150. Это слагаемое всегда отрицательно. То есть -150 < 0.

Исходя из условий (1), (2) и (3), чтобы функция убывала на всей числовой прямой, "a" должно быть меньше -3, а остальные слагаемые могут быть отрицательными или равными нулю.

Итак, все значения "a", при которых функция убывает на всей числовой прямой, - это:

a < -3