Question

Кривая проходит через точку (2; -1) и обладает тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке пропорционален квадрату ординаты точки касания с коэффициентом пропорциональности k = 3. Найти уравнение кривой

Answer 1

Пусть уравнение кривой выглядит так:
y = f(x)
Тогда угловой коэффициент касательной в любой точке равен:
k = f'(x)
С другой стороны:
k = 3y^2
Приравнивая, получаем:
dy/dx = 3y^2
Получили квадратное уравнение. Оно простое, с разделяющимися переменными. Решаем:
dy/y^2 = 3dx
-1/y = 3x + C
y = -1/(3x + C)
Найдем С. Для этого вспомним, что кривая проходит через точку А (2, -1). Подставляя координаты точки А получаем:
-1 = -1/(6 + C)
-6 - C = - 1
C = -5
Итого искомое уравнение:
у = -1/(3x - 5)

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать метод координатных уравнений. По условию задачи, угловой коэффициент касательной в любой точке кривой пропорционален квадрату ординаты точки касания, с коэффициентом пропорциональности k = 3.

Угловой коэффициент касательной в точке (x, y) на кривой задается формулой:

m = -1/k * y

где m - угловой коэффициент касательной, y - ордината точки касания, k - коэффициент пропорциональности.

В данном случае, k = 3, так что угловой коэффициент касательной будет равен:

m = -1/3 * y

Так как угловой коэффициент касательной пропорционален квадрату ординаты точки касания, то мы можем записать это как:

m = -y/3

Уравнение касательной в точке (x, y) на кривой задается формулой:

y - y1 = m * (x - x1)

где (x1, y1) - координаты точки касания, m - угловой коэффициент касательной.

Подставляя полученное уравнение касательной в нашем случае, получим:

y - (-1) = -y/3 * (x - 2)

Упростив, получим уравнение касательной в точке (2, -1):

y + 1 = -y/3 * (x - 2)

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дробного коэффициента:

3y + 3 = -y * (x - 2)

Распределим y по уравнению:

3y + 3 = -x * y + 2y

Упростим уравнение, вынесем общий член:

2y + x * y = 3 + 3y

Сгруппируем слагаемые по y:

y * (2 + x) = 3 + 3y

Далее, чтобы найти уравнение кривой, нам нужно решить это уравнение относительно y. Это можно сделать, разделив обе стороны уравнения на (2 + x):

y = (3 + 3y) / (2 + x)

Упростим уравнение, вынесем 3y:

y = 3/2 - y/2 * (x/2)

Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дробного коэффициента:

2y = 3 - y * (x/2)

Распределим y по уравнению:

2y = 3 - x * y/2

Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дробного коэффициента:

4y = 6 - x * y

Теперь у нас есть уравнение кривой в параметрической форме, где y - это функция x.