Question

№1. На плоскости хОу требуется найти кривую, проходящую через точку О(0;0) и обладающую тем свойством, что угловой коэффициент касательной, проведенной в любой точке кривой, равен удвоенному квадрату абсциссы точки касания. №2. Требуется найти закон движения свободно падающего в пустоте тела, если пройденный путь начинает отсчитываться от момента времени t = 0 и начальная скорость падения равна 7 м/с2.

Answer 1

№1. Для поиска кривой, удовлетворяющей условию задачи, давайте воспользуемся параметрическим уравнением кривой. Обозначим координаты точки на кривой через \( (x, y) \). Пусть параметр \( t \) изменяется, тогда уравнение кривой можно записать следующим образом:

\[ x = f(t) \] \[ y = g(t) \]

Условие на угловой коэффициент касательной гласит, что производная \( \frac{dy}{dx} \) должна быть равна удвоенному квадрату абсциссы точки касания. Поэтому:

\[ \frac{dy}{dx} = 2x \]

Теперь мы можем выразить \( \frac{dy}{dx} \) через параметр \( t \):

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{g'(t)}{f'(t)} \]

где \( f' \) и \( g' \) - производные по \( t \) от \( f \) и \( g \) соответственно. Таким образом, у нас есть уравнение:

\[ \frac{g'(t)}{f'(t)} = 2f(t) \]

Решив это дифференциальное уравнение, мы получим параметрическое уравнение кривой, удовлетворяющей условию.

№2. Для нахождения закона движения свободно падающего тела, мы можем использовать уравнение равноускоренного движения. Ускорение свободного падения обозначается как \( g \) и принимает значение приблизительно \( 9.8 \, м/с^2 \).

Уравнение движения имеет вид:

\[ s(t) = s_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \]

где: - \( s(t) \) - пройденный путь к моменту времени \( t \), - \( s_0 \) - начальное положение (в данном случае, предполагаем, что начальное положение равно 0), - \( v_0 \) - начальная скорость, - \( a \) - ускорение.

В вашем случае \( s_0 = 0 \), \( v_0 = 7 \, м/с \) (учитывая, что начальная скорость падения равна ускорению свободного падения \( g \)). Таким образом, уравнение принимает вид:

\[ s(t) = 7t - \frac{1}{2} g t^2 \]

где \( g \approx 9.8 \, м/с^2 \). Это уравнение описывает закон движения свободно падающего тела в отсутствие воздушного сопротивления.