Question

Какими рекуррентными соотношениями определяются прогрессии

Answer 1

1. Рекуррентное соотношение  an = an – 1 + 2  вместе с условием  a1 = 1  задает арифметическую прогрессию с первым членом  1  и разностью  2:  1,  3,  5,  7,  … . Это последовательность нечетных чисел.
2. Рекуррентное соотношение  an = 2an – 1  вместе с условием  a1 = 1  задает геометрическую прогрессию с первым членом  1  и знаменателем  2:  1,  2, 22,  23,  … . Это последовательность степеней двойки, начиная с нулевой степени.
Кстати, иногда члены последовательности удобно нумеровать с нуля, или вообще выбирать другой способ нумерации.
3. Рекуррентное соотношение  an = an – 1 + an – 2  вместе с условием  a0 = 0,  a1 = 1  задает последовательность чисел Фибоначчи:  0,  1,  1,  2,  3,  5,  8, 13,  21,  … .

Answer 2

Прогрессии - это последовательности чисел, в которых каждый следующий элемент вычисляется на основе предыдущих элементов в соответствии с определенным законом. Существует несколько типов прогрессий, и для каждой из них можно записать рекуррентные соотношения. Вот несколько примеров:

1. Арифметическая прогрессия (АП): В арифметической прогрессии разница между любыми двумя последовательными элементами постоянна. Если a_n обозначает n-й член прогрессии, а a_1 - первый член, то рекуррентное соотношение для арифметической прогрессии будет следующим: a_n = a_1 + (n - 1) * d, где "d" - разница между соседними членами прогрессии.

2. Геометрическая прогрессия (ГП): В геометрической прогрессии отношение между любыми двумя последовательными элементами постоянно. Если a_n обозначает n-й член прогрессии, а a_1 - первый член, то рекуррентное соотношение для геометрической прогрессии будет следующим: a_n = a_1 * r^(n - 1), где "r" - множитель, определяющий отношение между соседними членами прогрессии.

3. Гармоническая прогрессия: Гармоническая прогрессия - это последовательность, в которой обратные значения членов образуют арифметическую прогрессию. Рекуррентное соотношение для гармонической прогрессии может быть записано как: 1/a_n = 1/a_1 + (n - 1) * d, где "d" - разница между обратными значениями соседних членов прогрессии.

4. Квадратичная прогрессия: Квадратичная прогрессия - это последовательность, в которой каждый член вычисляется с использованием квадратичного уравнения. Рекуррентное соотношение для квадратичной прогрессии может быть сложным и зависит от специфики этой прогрессии.

Это всего лишь некоторые из примеров прогрессий и соответствующих им рекуррентных соотношений. Различные типы прогрессий могут иметь более сложные рекуррентные формулы в зависимости от их характеристик и специфики.