Question

Каково наименьшее натуральное N такое, что N! Делится на 770?

Answer 1

Каноническое разложение числа 770 имеет вид: 2*5*7*11.
Таким образом, минимальное N=11

Answer 2

Чтобы найти наименьшее натуральное число N, при котором N! (факториал N) делится на 770, мы должны разложить 770 на простые множители и определить, какие из них входят в N!. Затем мы можем найти такое наименьшее N, что его факториал включает все эти множители.

Чтобы разложить 770 на простые множители, начнем с деления на 2, затем на 5, и продолжим разложение до получения простых множителей:

770 ÷ 2 = 385 385 ÷ 5 = 77 77 = 7 * 11

Итак, разложение 770 на простые множители дает нам: 2 * 5 * 7 * 11.

Теперь нам нужно найти наименьшее натуральное N, при котором N! включает в себя все эти простые множители. Для этого нам нужно определить, сколько раз каждый из этих простых множителей входит в факториал N.

- 2: Для нахождения количества множителей 2 в N! мы можем воспользоваться формулой N/2 + N/4 + N/8 + ... + N/2^k, где k - максимальное целое число, для которого 2^k ≤ N. Для N = 770:

k = ⌊log₂(770)⌋ ≈ 9

Теперь мы можем найти количество множителей 2:

N/2 + N/4 + N/8 + ... + N/2^k = 770/2 + 770/4 + 770/8 + ... + 770/2^9 ≈ 385 + 192 + 96 + ... + 1 = 770 - 1 = 769

- 5: Для нахождения количества множителей 5 в N! мы можем воспользоваться формулой N/5 + N/25 + N/125 + ... + N/5^k, где k - максимальное целое число, для которого 5^k ≤ N. Для N = 770:

k = ⌊log₅(770)⌋ ≈ 3

Теперь мы можем найти количество множителей 5:

N/5 + N/25 + N/125 + ... + N/5^k = 770/5 + 770/25 + 770/125 + ... + 770/5^3 ≈ 154 + 30 + 6 = 190

- 7: Для нахождения количества множителей 7 в N! мы можем воспользоваться формулой N/7 + N/49 + N/343 + ..., но в данном случае N! не включает в себя множитель 7, так как 770 не делится на 7.

- 11: Аналогично, N! не включает в себя множитель 11, так как 770 не делится на 11.

Таким образом, наименьшее натуральное N, при котором N! делится на 770, равно 770, так как факториал 770 включает в себя все простые множители числа 770.