Question

Розв’яжи рівняння (2x+1)^2+(x-3)^2-(2x+3)(2x-3)-19=0

Answer 1

$(2x+1)^2+(x-3)^2-(2x+3)(2x-3)-19=0$

Раскрою скобки, используя формулы сокращенного умножения, а именно: квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов:

$4x^2+4x+1+x^2-6x+9-(4x^2-9)-19=0$

Выше записал разность квадратов в скобках чтобы не запутаться, ведь перед ними стоит минус. Теперь раскрою скобки заменяя знаки:

$4x^2+4x+1+x^2-6x+9-4x^2+9-19=0$

Приведу подобные слагаемые в левой части уравнения:

$x^2-2x=0$

Получается квадратное уравнение, которое можно решить через разложение на множители, либо через Дискриминант / теорему Виета. Покажу оба способа. Дискриминант:

$x^2-2x=0\\D=b^2-4ac=(-2)^2-4*1*0=4\\x_1=\frac{-b+\sqrt{D} }{2a} =\frac{2+2}{2*1} =\frac{4}{2} =2\\x_2=\frac{-b-\sqrt{D} }{2a} =\frac{2-2}{2*1} =\frac{0}{2} =0$

Разложение на множители:

$x^2-2x=0\\x(x-2)=0\\x=0\rightarrow x=0\\x-2=0\rightarrow x=2$

Answer 2

Давайте розв'яжемо рівняння (2x+1)^2 + (x-3)^2 - (2x+3)(2x-3) - 19 = 0:

Спочатку розкриємо дужки у виразі:

(2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9 (2x+3)(2x-3) = 4x^2 - 9

Тепер підставимо ці вирази назад у рівняння:

4x^2 + 4x + 1 + x^2 - 6x + 9 - (4x^2 - 9) - 19 = 0

Тепер спростимо рівняння:

4x^2 + x^2 + 4x - 6x + 1 + 9 - 4x^2 + 9 - 19 = 0

Злічимо однакові терміни:

5x^2 - 2x - 10 = 0

Тепер ми маємо квадратне рівняння, яке можна розв'язати. Використаємо квадратну формулу:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Де a = 5, b = -2 і c = -10. Підставимо ці значення у формулу:

x = (-(-2) ± √((-2)² - 4 * 5 * (-10))) / (2 * 5)

x = (2 ± √(4 + 200)) / 10

x = (2 ± √204) / 10

Тепер витягнемо корінь:

x = (2 ± 2√51) / 10

x = (1 ± √51) / 5

Отже, розв'язок рівняння (2x+1)^2 + (x-3)^2 - (2x+3)(2x-3) - 19 = 0 є:

x = (1 + √51) / 5 та x = (1 - √51) / 5.