Question

Найдите положительное число, квадрат которого равен значению выражения 1001×1002×1003×1004+1​

Answer 1

Вариант "взять калькулятор" не подойдет. Но можно заметить, что для любого натурального числа n

$n(n+1)(n+2)(n+3) = n(n+3)\cdot(n+1)(n+2) = (n^2+3n)(n^2+3n+2)=\\=((n^2+3n+1)-1)((n^2+3n+1)+1) = (n^2+3n+1)^2-1$

Поэтому

$n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2$

В нашем случае $n=1001$ а значит наше положительное число, квадратом которого является 1001×1002×1003×1004+1​ это

$1001^2+3003+1 = 1005005$

Answer 2

Давайте найдем положительное число, квадрат которого равен значению выражения 1001×1002×1003×1004 + 1.

Выражение можно представить в виде $x^2 = 1001 \cdot 1002 \cdot 1003 \cdot 1004 + 1$, где $x$ - искомое положительное число.

Сначала вычислим значение выражения в правой части:

$1001 \cdot 1002 \cdot 1003 \cdot 1004 + 1 = 1001 \cdot (1002 \cdot 1003 \cdot 1004 + 1)$

$1002 \cdot 1003 \cdot 1004 + 1$ также можно представить в виде $x^2$:

$1002 \cdot 1003 \cdot 1004 + 1 = (1002 \cdot 1003)^2 + 1 = 1001^2 + 1$

Теперь мы можем переписать исходное выражение:

$x^2 = 1001 \cdot (1001^2 + 1)$

$x^2 = 1001^3 + 1001$

Теперь можем найти положительное значение $x$ вычислением квадратного корня:

$x = \sqrt{1001^3 + 1001}$

Вычислим это значение:

$x ≈ 1001.5$

Таким образом, положительное число, квадрат которого равен $1001 \cdot 1002 \cdot 1003 \cdot 1004 + 1$, примерно равно 1001.5.