Question

Yy'(1+x^2) = 1+y^2 Домопожіть розвязати др з відокремлюваними змінними. Диференціал розписувати.

Answer 1

$\displaystyle yy'(1+x^2)=1+y^2\\\\y\frac{dy}{dx}(1+x^2) = 1+y^2\\\\\frac{ydy}{1+y^2} = \frac{dx}{1+x^2}\\\\\frac{d(y^2)}{1+y^2} = \frac{2dx}{1+x^2}\\\\\ln(1+y^2) = 2\arctan(x)+C_1\\\\y^2 = C\exp(2\arctan(x))-1\\\\y = \pm\sqrt{C\exp(2\arctan(x))-1}$

Answer 2

Це здається диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними. Давай розв'яжемо його разом.

Почнемо зі зміни змінних. Замінимо $y$ на $v$, де $v = 1 + x^2$:

$\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} = 2x$

Тепер підставимо це у рівняння:

$2x(1 + x^2) = 1 + (1 + x^2)^2$

Розкриємо дужки та спростимо:

$2x + 2x^3 = 1 + 1 + 2x^2 + x^4$

Приєднаємо всі члени на одній стороні:

$x^4 - 2x^3 - 2x^2 - 2x + 2 = 0$

Отримали поліном четвертого ступеня. Якщо це завдання не передбачає розв'язання поліномів, можливо, я щось пропустила. Ти бажаєш ще допомоги?