Question

Найдите экстремумы функции y=x^3+х^2-x+3

Answer 1

Відповідь: фото

Покрокове пояснення:

Answer 2

Есть несколько действий:

1) Область определения:

Д(х): х=R

То есть нету ограничений

2) Найти производную:

у=х³+х²-х+3

у‘=3х²+2х-1

3) Вышедшую производную уравнять на 0

3х²+2х-1=0

(х+1)(3х-1)=0

х= -1

х= 1/3

4) Нарисовать интервал:

(фото)

5) Найти мин, макс.

Хмакс= -1

Хмин = 1/3

Answer 3

Чтобы найти экстремумы функции y = x^3 + x^2 - x + 3, нужно сначала найти её производную и решить уравнение производной равной нулю. Экстремумы функции будут соответствовать точкам, в которых производная меняет знак.

1. Найдем производную функции: y'(x) = 3x^2 + 2x - 1

2. Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение: 3x^2 + 2x - 1 = 0

Для решения этого квадратного уравнения можно использовать квадратное уравнение или метод дискриминанта. В данном случае, мы воспользуемся методом дискриминанта.

3. Найдем дискриминант (D) уравнения: D = b^2 - 4ac Где a = 3, b = 2, и c = -1.

   D = 2^2 - 4 * 3 * (-1) D = 4 + 12 D = 16

4. Теперь найдем корни уравнения с помощью дискриминанта: x1,2 = (-b ± √D) / (2a) x1 = (-2 + √16) / (2 * 3) = (2 + 4) / 6 = 6 / 6 = 1 x2 = (-2 - √16) / (2 * 3) = (2 - 4) / 6 = -2 / 6 = -1/3

Теперь у нас есть две точки, в которых производная равна нулю: x1 = 1 и x2 = -1/3. Эти точки могут соответствовать экстремумам функции. Чтобы определить, являются ли они минимумами или максимумами, нужно проанализировать знаки производной в окрестностях этих точек.

5. Анализ знаков производной:
   • При x < -1/3, производная y'(x) = 3x^2 + 2x - 1 < 0, так как все слагаемые будут отрицательными при отрицательных x.
   • При -1/3 < x < 1, производная y'(x) = 3x^2 + 2x - 1 > 0, так как x^2 положительное при любом x, и 2x - 1 положительное в данном интервале.
   • При x > 1, производная y'(x) = 3x^2 + 2x - 1 > 0, так как все слагаемые будут положительными при положительных x.

Из анализа знаков производной следует, что:

• При x < -1/3, функция убывает (производная отрицательна).
• При -1/3 < x < 1, функция возрастает (производная положительна).
• При x > 1, функция снова возрастает (производная положительна).

Следовательно, точка x = -1/3 соответствует локальному минимуму, а точка x = 1 соответствует локальному максимуму функции.

Теперь, чтобы найти значения функции в этих точках, подставим их в исходную функцию:

Для x = -1/3: y(-1/3) = (-1/3)^3 + (-1/3)^2 - (-1/3) + 3

Для x = 1: y(1) = 1^3 + 1^2 - 1 + 3

Вычислив эти значения, вы получите точные значения функции в точках минимума и максимума.