Question

Знайти кут між діагоналями паралелограма побудованого на векторах à(2,1,0) та â(0,-2,1)

Answer 1

Відповідь: Для знаходження кута між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах a (2, 1, 0) і b (0, -2, 1), ми можемо скористатися властивостями скалярного добутку векторів.

Діагоналі паралелограма будуть сумою цих двох векторів:

d1 = a + b

d2 = a - b

Знайдемо значення діагоналей:

d1 = (2, 1, 0) + (0, -2, 1) = (2, -1, 1)

d2 = (2, 1, 0) - (0, -2, 1) = (2, 3, -1)

Тепер знайдемо скалярний добуток цих двох діагоналей:

d1 · d2 = (2, -1, 1) · (2, 3, -1) = 2*2 + (-1)3 + 1(-1) = 4 - 3 - 1 = 0

Кут між векторами можна знайти використовуючи наступну формулу:

cos(θ) = (d1 · d2) / (|d1| * |d2|)

Де |d1| та |d2| є довжинами відповідних векторів.

Знайдемо довжини векторів:

|d1| = sqrt((2)^2 + (-1)^2 + 1^2) = sqrt(4 + 1 + 1) = sqrt(6)

|d2| = sqrt((2)^2 + 3^2 + (-1)^2) = sqrt(4 + 9 + 1) = sqrt(14)

Підставимо значення в формулу:

cos(θ) = 0 / (sqrt(6) * sqrt(14)) = 0 / sqrt(84) = 0

Отже, враховуючи, що cos(θ) = 0, кут між діагоналями паралелограма дорівнює 90 градусів або π/2 радіан.

Покрокове пояснення:

Answer 2

Кут між двома векторами можна знайти за допомогою скалярного добутку векторів та їхніх довжин. Формула для обчислення кута між векторами (θ) виглядає так:

cos(θ) = (a · b) / (||a|| * ||b||),

де:

• "a" - перший вектор,
• "b" - другий вектор,
• "a · b" - скалярний добуток векторів,
• "||a||" - довжина першого вектора,
• "||b||" - довжина другого вектора.

У нашому випадку, перший вектор a(2, 1, 0), а другий вектор b(0, -2, 1).

Спершу знайдемо скалярний добуток векторів: a · b = 20 + 1(-2) + 0*1 = 0 - 2 + 0 = -2.

Далі знайдемо довжини векторів a та b: ||a|| = √(2^2 + 1^2 + 0^2) = √(4 + 1 + 0) = √5,

||b|| = √(0^2 + (-2)^2 + 1^2) = √(0 + 4 + 1) = √5.

Тепер підставимо знайдені значення в формулу для косинуса кута:

cos(θ) = (-2) / (√5 * √5) = -2 / 5.

Тепер, щоб знайти кут (θ), використаємо обернений косинус (арккосинус) для цього значення:

θ = arccos(-2/5).

Використовуючи калькулятор або математичний програмний засіб, знайдемо арккосинус:

θ ≈ 113.13 градусів.

Отже, кут між векторами a(2, 1, 0) та b(0, -2, 1) дорівнює приблизно 113.13 градусів.