Question

Дая функции F(x) = x - 7х + 5 найти первообразную, графия которой проходит через точку М(1;2)

Answer 1

Ответ:

Для нахождения первообразной функции F(x) необходимо проинтегрировать данную функцию по переменной x:

∫(x - 7x + 5)dx = (1/2)x^2 - (7/2)x + 5x + C

где С – произвольная постоянная интегрирования.

Чтобы определить значение постоянной С, воспользуемся условием, что график первообразной функции проходит через точку М(1;2):

(1/2)1^2 - (7/2)1 + 5*1 + C = 2

1/2 - 7/2 + 5 + C = 2

C = 3

Итак, первообразная функции F(x), проходящая через точку М(1;2), имеет вид:

F(x) = (1/2)x^2 - (7/2)x + 5x + 3

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для нахождения первообразной функции F(x), которая проходит через точку M(1,2), мы сначала должны интегрировать F(x) и затем использовать информацию о точке M для определения постоянной интегрирования.

Интегрируем функцию F(x):

∫[x - 7x + 5] dx = ∫(x - 7x + 5) dx

Интегрирование каждого члена по отдельности:

∫x dx - ∫7x dx + ∫5 dx

Теперь вычислим интегралы:

(1/2)x^2 - (7/2)x^2 + 5x + C

Теперь у нас есть первообразная F(x) без учета постоянной интегрирования, которую мы обозначим как C.

Теперь мы можем использовать информацию о точке M(1,2) для нахождения значения постоянной C. Заметим, что F(1) должно равняться 2:

F(1) = (1/2)(1^2) - (7/2)(1^2) + 5(1) + C = 1/2 - 7/2 + 5 + C = -6/2 + 5 + C = -3 + 5 + C = 2 + C

Так как F(1) = 2, то:

2 + C = 2

Отсюда находим значение постоянной C:

C = 2 - 2 = 0

Таким образом, первообразная функции F(x), проходящей через точку M(1,2), равна:

F(x) = (1/2)x^2 - (7/2)x^2 + 5x + 0

Упростим её:

F(x) = (1/2 - 7/2)x^2 + 5x

F(x) = (-6/2)x^2 + 5x

F(x) = -3x^2 + 5x

Это и есть искомая первообразная функции F(x).