Question

Помогите пожалуйста! Очень сильно нужно! 1) Разложите многочлен на множители комбинируя различные способы: а) z^3+7zu^2+u^3= б) x^3+10x^2-20x-8=

Answer 1

x³+10x²-20x-8=x²(x-2)+12x(x-2)+4(x-2)=(x-2)(x²+12x+4)

Answer 2

Конечно, разложим данные многочлены на множители.

а) Разложение многочлена $z^3 + 7zu^2 + u^3$:

Сначала выделим общий множитель $z^3$ и $u^3$:

$z^3 + 7zu^2 + u^3 = z^3 + u^3 + 7zu^2$

Теперь мы видим, что это сумма двух кубов. Сумма двух кубов может быть разложена по формуле:

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

В нашем случае:

$a = z$, $b = u$

Таким образом, мы можем разложить многочлен на множители следующим образом:

$z^3 + u^3 = (z + u)(z^2 - zu + u^2) + 7zu^2$

Мы не можем упростить $7zu^2$ дальше, поэтому итоговое разложение будет:

$(z + u)(z^2 - zu + u^2) + 7zu^2$

б) Разложение многочлена $x^3 + 10x^2 - 20x - 8$:

Сначала давайте попробуем найти рациональные корни этого многочлена, используя рациональный корневой теоремы. Возможные рациональные корни - это все делители константы (-8) разделенные на все делители старшего коэффициента (1). Таким образом, возможные рациональные корни - это ±1, ±2, ±4, ±8.

Подставим каждое из этих значений в многочлен, чтобы проверить, являются ли они корнями:

При $x = 1$:

$1^3 + 10(1)^2 - 20(1) - 8 = 1 + 10 - 20 - 8 = -17$

При $x = -1$:

$(-1)^3 + 10(-1)^2 - 20(-1) - 8 = -1 + 10 + 20 - 8 = 21$

При $x = 2$:

$2^3 + 10(2)^2 - 20(2) - 8 = 8 + 40 - 40 - 8 = 0$

Таким образом, $x = 2$ - это корень многочлена. Мы можем разделить исходный многочлен на $x - 2$ с использованием синтетического деления или деления многочленов. Давайте сделаем это:

$(x^3 + 10x^2 - 20x - 8) / (x - 2)$

Синтетическое деление:

$$\begin{array}{r|rrrr} 2 & 1 & 10 & -20 & -8 \\ \hline & & 2 & 24 & 8 \\ \end{array}$$

Результат синтетического деления: $x^2 + 12x + 4$

Теперь мы разложили многочлен на множители:

$x^3 + 10x^2 - 20x - 8 = (x - 2)(x^2 + 12x + 4)$

Далее, разложим множитель $x^2 + 12x + 4$. Этот множитель может быть разложен на квадратные множители:

$x^2 + 12x + 4 = (x + 2)(x + 2) = (x + 2)^2$

Итак, окончательное разложение:

$x^3 + 10x^2 - 20x - 8 = (x - 2)(x + 2)^2$