Question

Найдите все натуральные m такие, что m^2 + 2 записывается одними шестерками.

Answer 1

M = 2;
m^2+2 = 6

Предположим, что есть еще какое-то решение...
m^2+2 = 6.....6
m^2 = 6....64 - т.е. кратно 2. Разделим все на 2
2*(m/2)^2 = 3...32
(m/2)^2 = 16...6, или для случая с одной тройкой = 16

Для случая с одной тройкой m=8  и m^2+2 = 66

Для случая более одной тройки  - снова делим на 2
2*(m/4)^2=83...3 - т.е. слева в равенстве у нас четное число, а справа - нечетное... таким образом больше решений не существует...

Ответ: 2 и 8

Answer 2

Для поиска натуральных чисел m, при которых m^2 + 2 можно записать с использованием только цифры 6, нужно решить следующее уравнение:

m^2 + 2 = 666...

где "666..." представляет собой последовательность шестерок, которая может иметь любое количество цифр. Представим это уравнение как:

m^2 = 666... - 2

Теперь давайте рассмотрим, какие значения m могут удовлетворить это уравнение:

1. Пусть n - количество цифр в последовательности "666...". Тогда "666..." можно записать как 6 * (10^n - 1) (например, "666" соответствует n=3, "6666" - n=4 и так далее).
2. Теперь у нас есть уравнение m^2 = 6 * (10^n - 1) - 2.

Давайте рассмотрим, какие значения n могут привести к натуральным значениям m^2:

a. Если n=1, то у нас есть m^2 = 6 * (10 - 1) - 2 = 54. Однако нет натуральных m, удовлетворяющих этому уравнению.

b. Если n=2, то у нас есть m^2 = 6 * (100 - 1) - 2 = 598. Также нет натуральных m, удовлетворяющих этому уравнению.

c. Если n=3, то у нас есть m^2 = 6 * (1000 - 1) - 2 = 5998. Снова нет натуральных m, удовлетворяющих этому уравнению.

Продолжая этот процесс, мы видим, что для всех n больше или равных 4, правая сторона уравнения будет иметь нечётные значения, и m^2 также будет нечётным. Однако квадраты натуральных чисел могут быть только чётными. Поэтому уравнение m^2 = 6 * (10^n - 1) - 2 не имеет натуральных решений.

Итак, нет натуральных чисел m, при которых m^2 + 2 можно записать с использованием только цифры 6.