Question

Найти промежутки монотонности функции y=-2x^2+2x+12

Answer 1

=((-2)×x^2+2×x+12)=(-4)×x+2

Answer 2

Для определения промежутков монотонности функции y = -2x^2 + 2x + 12, нам нужно найти производную этой функции и исследовать её знак на различных интервалах.

1. Начнем с нахождения производной функции: y' = d/dx (-2x^2 + 2x + 12) = -4x + 2

2. Теперь найдем критические точки, где производная равна нулю: -4x + 2 = 0 -4x = -2 x = 1/2

3. Теперь мы имеем одну критическую точку при x = 1/2. Чтобы определить промежутки монотонности, мы можем выбрать тестовую точку в каждом из трех интервалов, которые разделяются этой критической точкой: (-бесконечность, 1/2), (1/2, +бесконечность) и саму критическую точку 1/2.

4. Проверим знак производной в этих интервалах:

   • Для x < 1/2, выберем x = 0 (произвольную точку в интервале). Подставим x = 0 в y': -4(0) + 2 = 2 Значит, на интервале (-бесконечность, 1/2) производная положительна, и функция монотонно возрастает.

   • Для x > 1/2, выберем x = 1 (произвольную точку в интервале). Подставим x = 1 в y': -4(1) + 2 = -2 Значит, на интервале (1/2, +бесконечность) производная отрицательна, и функция монотонно убывает.

   • В самой критической точке x = 1/2, производная равна 2 - 2 = 0. Это может сигнализировать о точке экстремума, но здесь мы исследуем только монотонность.

Итак, промежутки монотонности функции y = -2x^2 + 2x + 12:

• Функция монотонно возрастает на интервале (-бесконечность, 1/2).
• Функция монотонно убывает на интервале (1/2, +бесконечность).

Это означает, что функция сначала убывает, достигает минимума в точке x = 1/2, а затем начинает возрастать.