Question

В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ равна 3, угол А равен а. Треугольник АВС вращается вокруг катета ВС. Найдите объем полученного тела вращения

Answer 1

Ответ:

ΔАВС ,  ∠С=90°  ,  ∠А = α  ,  АВ = 3 .

Треугольник АВС вращается вокруг катета ВС. Найдите объем полученного тела вращения .  

Тело вращения - это конус с высотой , равной h=ВС  и образующей, равной АВ .

Объём конуса  $\bf V=\dfrac{1}{3}\, \pi \, R^2\, h$  .

Из ΔАВС имеем :   $\bf BC = h =AB\cdot sin\alpha = 3\cdot sin\alpha \ \ ,$  

$\bf AC=R=AB\cdot cos\alpha =3\cdot cos\alpha$  

$\bf V=\dfrac{1}{3}\cdot \pi \cdot (3\, cos\alpha )^2\cdot 3\, sin\alpha =9\pi \cdot cos^2\alpha \cdot sin\alpha =4,5\pi \cdot sin2\alpha \cdot cos\alpha$      

Answer 2

Для нахождения объема тела вращения треугольника ABC вокруг катета BC (предполагая, что треугольник вращается вокруг BC как вокруг оси), можно воспользоваться методом цилиндрического вращения.

Сначала рассмотрим треугольник ABC. У нас есть гипотенуза AB длиной 3 и угол A равен α. Для простоты рассмотрим случай, когда α измеряется в радианах. Длина катета BC будет равна 3sin(α) (по определению синуса в прямоугольном треугольнике).

Теперь представьте себе, что треугольник ABC вращается вокруг катета BC. Это создаст цилиндр с радиусом 3sin(α) и высотой равной длине гипотенузы AB, то есть 3.

Объем цилиндра можно вычислить по формуле:

V = π * r^2 * h,

где

• V - объем цилиндра,
• π - число Пи (примерно 3.14159...),
• r - радиус цилиндра,
• h - высота цилиндра.

В нашем случае:

• r = 3sin(α),
• h = 3.

Теперь мы можем выразить объем цилиндра:

V = π * (3sin(α))^2 * 3 V = 9πsin^2(α)

Таким образом, объем полученного тела вращения равен 9πsin^2(α) кубических единиц.