Question

Найти решения следующих дифференциальных уравнений с указа нием фундаментальных решений: d^3y/dx^3 +d^2y/dx^2 +4×dy/dx=0

Answer 1

Для решения этого уравнения воспользуемся методом вариации постоянных.

Предположим, что y(x) имеет вид:

y(x) = C_1 * e^(kx) + C_2 * k * e^(k * x) + C_3 * k^2 * e^(k^2 * x)

где C_1, C_2 и C_3 - константы, а k - параметр.

Подставляя это предположение в уравнение, получим:

d^3y / dx^3 = k^3 * C_1 * e^(k*x) + k^2 * C_2 * e^(k^2*x)

d^2y / dx^2 = k^2 * (C_1 + k * C_2) * e^(k*x) + k * (k*C_2 + C_3) * e^(k^2*x)

dy / dx = k * (C_1 + C_2 + k * C_3) * e^(k*x)

Затем подставим эти выражения в исходное уравнение:

k^3 * C_1 + k^2 * (C_1 + k*C_2) + 4*k*(C_1+C_2+k*C_3) = 0

C_1 = -4*C_3

C_2 = -4*(k+1)*C_3/k

Теперь мы можем выразить y(x) через константы C_3 и k:

Answer 2

Это дифференциальное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами. Чтобы найти его решение, предположим, что решение имеет вид $y = e^{rx}$, где $r$ - неизвестная константа.

Тогда подставим это предположение в уравнение:

$$r^3 e^{rx} + r^2 e^{rx} + 4re^{rx} = 0$$

Разделим на $e^{rx}$ (поскольку она не равна нулю):

$$r^3 + r^2 + 4r = 0$$

Теперь найдем корни этого уравнения. Уравнение можно факторизовать:

$$r(r^2 + r + 4) = 0$$

Таким образом, у нас есть три возможных значения $r$:

1. $r = 0$
2. $r^2 + r + 4 = 0$

Первый корень $r = 0$ соответствует фундаментальному решению $e^{0x} = 1$.

Для второго корня $r^2 + r + 4 = 0$, используйте квадратное уравнение:

$$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(4)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-15}}{2}$$

Таким образом, у нас есть два комплексных корня:

3. $r = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{15}i}{2}$
4. $r = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{15}i}{2}$

Фундаментальные решения:

1. $e^{0x} = 1$
2. $e^{-\frac{1}{2}x} \cos\left(\frac{\sqrt{15}}{2}x\right)$
3. $e^{-\frac{1}{2}x} \sin\left(\frac{\sqrt{15}}{2}x\right)$

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения:

$$y(x) = C_1 + C_2 e^{-\frac{1}{2}x} \cos\left(\frac{\sqrt{15}}{2}x\right) + C_3 e^{-\frac{1}{2}x} \sin\left(\frac{\sqrt{15}}{2}x\right)$$

где $C_1, C_2, C_3$ - произвольные постоянные.