Question

Lim (sin xy/x) x→0 y→2

Answer 1

$> Определяем <img src=$
Тут предел простой: функция непрерывна, потому просто подставляем значения $(x,y)=(0,2)$ и получаем результат.

Преобразуем исходный предел по $\alpha$:
$\underset{(x,y)\to(0,2)}\lim \frac{\sin(xy)}{x}=\underset{(\alpha,y)\to(0,2)}\lim y\frac{\sin(\alpha)}{\alpha}$

А вот тут мне не хватает теоремы, по которой я могу устремить значения $x$ и $\alpha$ по отдельности (типа теоремы Фубини для интегралов), если упустить ПОЧЕМУ можно переделы менять местами, получим:

$\underset{(\alpha,y)\to(0,2)}\lim y\frac{\sin(\alpha)}{\alpha}=\underset{\alpha\to0}\lim\Big(\underset{y\to2}\lim \frac{\sin(\alpha)}{\alpha}y\Big)=\underset{\alpha\to0}\lim2 \frac{\sin(\alpha)}{\alpha}=2$


-----------------------------
Есть другой вариант, не требует теорему, только неравенство $|\sin (\alpha)|\leq\alpha$ для любых $\alpha\to0$.

Я докажу что предел функции $f(x,y)=\frac{\sin(xy)}{x}-2$ равен нулю, отсюда получим предел из примера.

Доказательство:
$\Big|\frac{\sin(xy)}{x}-2\Big|\leq\Big|\frac{xy}{x}-\frac{2x}{x}\Big|=\Big|\frac{xy-2x}{x}\Big|=\Big|\frac{x}{x}(y-2)\Big|$
На проколотой области $(-\delta,\delta)\setminus\{0\}$ $x\neq0$, значит, можем спокойно сократить и получим:
$\Big|\frac{\sin(xy)}{x}-2\Big|\leq\Big|y-2\Big|$
Понятно, что $|y-2|\underset{(x,y)\to(0,2)}\longrightarrow 0$.
Из теоремы: $\lim\big|f(x)\big|=0\Rightarrow\lim f(x)=0$ получаем:

$\Big|\frac{\sin(xy)}{x}-2\Big|\leq|y-2|\underset{(x,y)\to(0,2)}\longrightarrow 0\Rightarrow\ \Big|\frac{\sin(xy)}{x}-2\Big|\underset{(x,y)\to(0,2)}\longrightarrow 0$

Следовательно: $\underset{(x,y)\to(0,2)}\lim \frac{\sin(xy)}{x}-2=0\Rightarrow\underset{(x,y)\to(0,2)}\lim \frac{\sin(xy)}{x}=2$

Теперь, всё точно.

Answer 2

To find the limit of the function lim(x→0, y→2) (sin(xy)/x), you can use L'Hôpital's Rule. First, note that as x approaches 0, the denominator becomes 0, and you have an indeterminate form (0/0).

L'Hôpital's Rule states that if the limit of the form 0/0 or ∞/∞ exists, then the limit of the quotient is the same as the limit of the quotient of their derivatives. So, we will differentiate both the numerator and denominator with respect to x:

Let f(x, y) = sin(xy) Let g(x) = x

Now, calculate the derivatives:

1. ∂f/∂x = y * cos(xy) (derivative of sin(xy) with respect to x)
2. ∂g/∂x = 1 (derivative of x with respect to x)

Now, you can rewrite the limit:

lim(x→0, y→2) (sin(xy)/x) = lim(x→0, y→2) (∂f/∂x / ∂g/∂x) = lim(x→0, y→2) (y * cos(xy) / 1)

Now, you can directly substitute the values:

= 2 * cos(0) / 1 = 2 * 1 / 1 = 2

So, the limit of (sin(xy)/x) as x approaches 0 and y approaches 2 is 2.