Question

Найдите минииум функции g(x)=3x^5-5x^3

Answer 1

G(x)=3x⁵-5x³
g⁾(x)=15x⁴-15x²=15x²(x²-1)
g⁾(x)=0; x=0; x=1; x=-1
x min=1
Ответ: 1.

Answer 2

Для нахождения минимума функции g(x) = 3x^5 - 5x^3, следует взять производную этой функции и приравнять её к нулю, чтобы найти точку, где производная равна нулю. Это будет потенциальной точкой минимума. Затем можно использовать вторую производную, чтобы определить, является ли эта точка минимумом или максимумом.

1. Найдем производную g'(x) функции g(x): g'(x) = d/dx [3x^5 - 5x^3] g'(x) = 15x^4 - 15x^2

2. Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение для x: 15x^4 - 15x^2 = 0

3. Вынесем общий множитель 15x^2: 15x^2(x^2 - 1) = 0

4. Решим уравнение для x: a) 15x^2 = 0 Это уравнение имеет решение x = 0.

   b) x^2 - 1 = 0 Это уравнение имеет два решения: x = 1 и x = -1.

Таким образом, у нас есть три потенциальных точки минимума: x = 0, x = 1 и x = -1.

Чтобы определить, являются ли эти точки минимумами или максимумами, мы можем использовать вторую производную (g''(x)) и проверить её знак в этих точках.

5. Найдем вторую производную g''(x): g''(x) = d^2/dx^2 [15x^4 - 15x^2] g''(x) = 60x^3 - 30x

6. Оценим знак второй производной в каждой из трех точек: a) Для x = 0: g''(0) = 0 - 0 = 0 b) Для x = 1: g''(1) = 60 - 30 = 30 (положительное значение) c) Для x = -1: g''(-1) = -60 - (-30) = -30 (отрицательное значение)

Таким образом, по знаку второй производной можно сделать вывод о характере каждой из трех точек:

• Точка x = 0 не имеет определенного характера (это может быть как минимум, так и максимум).
• Точка x = 1 является локальным минимумом.
• Точка x = -1 также является локальным минимумом.

Таким образом, функция g(x) имеет два локальных минимума при x = 1 и x = -1.

Answer 3

Чтобы найти минимум функции g(x) = 3x^5 - 5x^3, мы должны найти ее производную и приравнять ее к нулю, чтобы найти значения x, где производная равна нулю. Эти значения x будут кандидатами на минимум или максимум функции. Затем мы проверим вторую производную, чтобы определить, является ли найденное значение минимумом или максимумом. В данном случае, нам нужно найти минимум, поэтому будем искать минимум.

1. Найдем производную функции g(x):

g'(x) = d/dx (3x^5 - 5x^3)

Используя правило степеней и правило дифференцирования суммы, получаем:

g'(x) = 15x^4 - 15x^2

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

15x^4 - 15x^2 = 0

Получим:

15x^2(x^2 - 1) = 0

Теперь мы имеем два кандидата на минимум: x = 0 и x = ±1.

3. Чтобы определить, являются ли эти точки минимумами или максимумами, мы можем использовать вторую производную (тест на кривизну). Вычислим вторую производную:

g''(x) = d^2/dx^2 (15x^4 - 15x^2)

g''(x) = 60x^3 - 30x

Теперь подставим значения x = 0 и x = ±1:

a) Для x = 0:

g''(0) = 60(0)^3 - 30(0) = 0

b) Для x = 1:

g''(1) = 60(1)^3 - 30(1) = 60 - 30 = 30

c) Для x = -1:

g''(-1) = 60(-1)^3 - 30(-1) = -60 - (-30) = -30

Теперь мы можем сделать выводы:

a) Для x = 0, вторая производная равна 0, что не позволяет нам определить, является ли точка минимумом или максимумом.

b) Для x = 1, вторая производная положительна (30), что означает, что x = 1 - это точка минимума.

c) Для x = -1, вторая производная отрицательна (-30), что означает, что x = -1 - это точка минимума.

Таким образом, минимум функции g(x) = 3x^5 - 5x^3 находится при x = -1 и x = 1. Эти точки соответствуют локальным минимумам.