Question

Z=xy^2-xy-xy^3 (x>0; y>0) Найти экстремум функций двух переменных . Помогите пожалуйста решить

Answer 1

$>0, \\ y>0. \end{cases}$Система имеет беск много решений, экстремумов нет

Answer 2

Для нахождения экстремума функции двух переменных Z(x, y) = xy^2 - xy - xy^3 мы должны найти её частные производные по x и y, приравнять их к нулю и решить систему уравнений. Экстремумы могут быть минимумами, максимумами или седловыми точками.

1. Найдем частные производные Z по x и y:

∂Z/∂x = y^2 - y - y^3 ∂Z/∂y = 2xy - x - 3xy^2

2. Приравняем их к нулю и решим систему уравнений:

∂Z/∂x = 0: y^2 - y - y^3 = 0

∂Z/∂y = 0: 2xy - x - 3xy^2 = 0

3. Решим первое уравнение (∂Z/∂x = 0) относительно y:

y^2 - y - y^3 = 0

y(y - 1)(1 + y) = 0

Отсюда получаем три возможных значения y: y = 0, y = 1, y = -1. Так как у исходной функции y > 0, то y = 0 не подходит.

4. Теперь подставим найденное значение y обратно во второе уравнение (∂Z/∂y = 0) и решим его:

2xy - x - 3xy^2 = 0

При y = 1: 2x - x - 3x = 0 -2x = 0 x = 0

При y = -1: -2x - x + 3x = 0 0 = 0 (это тождество)

Таким образом, получаем две точки, в которых частные производные равны нулю: (x = 0, y = 1) и (x, y) может быть любой, так как для y = -1 мы получаем тождество.

5. Теперь нам нужно найти вторые частные производные, чтобы определить тип экстремумов в найденных точках. Это можно сделать с помощью матрицы Гессе.

Матрица Гессе для функции Z(x, y) имеет следующий вид:

H = | ∂^2Z/∂x^2 ∂^2Z/∂x∂y | | ∂^2Z/∂y∂x ∂^2Z/∂y^2 |

6. Найдем вторые частные производные:

∂^2Z/∂x^2 = 0 ∂^2Z/∂y^2 = 2 - 6xy ∂^2Z/∂x∂y = 2y - 1

7. Вычислим матрицу Гессе в точке (0, 1):

H(0, 1) = | 0 2 - 1 | | 2 - 1 2 - 6(0)(1) |

H(0, 1) = | 0 1 | | 1 2 |

8. Теперь определим определитель и след матрицы Гессе:

Определитель (D) = (0 * 2) - (1 * 1) = -1 След (Tr) = 0 + 2 = 2

9. По теореме о квадратичных формах, если D > 0 и Tr > 0, то это точка минимума. В нашем случае D = -1 (меньше нуля), поэтому это не точка минимума.

Таким образом, найденная точка (0, 1) не является точкой минимума. Вероятно, это может быть седловой точкой или максимумом, но для окончательного определения типа экстремума потребуется дополнительный анализ с использованием вторых производных или графика функции.