Question

Интегрирование по частям 1)Интеграл ln(x-5) dx 2) arctic 2x dx

Answer 1

..............................

Answer 2

Конечно, давайте рассмотрим каждый из этих интегралов по отдельности.

1) Интеграл $\int \ln(x-5) \, dx$:

Для решения данного интеграла мы будем использовать метод интегрирования по частям, который формулируется как:

$$\int u \, dv = uv - \int v \, du,$$

где $u$ и $v$ - это функции, которые выбираются так, чтобы упростить интеграл. В данном случае, выберем $u = \ln(x-5)$ и $dv = dx$. Тогда, выразим $du$ и $v$:

$$du = \frac{1}{x-5} \, dx, \quad v = x.$$

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

$$\int \ln(x-5) \, dx = x \ln(x-5) - \int x \left(\frac{1}{x-5}\right) \, dx.$$

Интеграл $\int x \left(\frac{1}{x-5}\right) \, dx$ можно вычислить разделив дробь на части:

$$\int \frac{x}{x-5} \, dx = \int \left(1 + \frac{5}{x-5}\right) \, dx = x + 5 \ln|x-5| + C,$$

где $C$ - константа интегрирования.

Таким образом, окончательный ответ для первого интеграла:

$$\int \ln(x-5) \, dx = x \ln(x-5) - (x + 5 \ln|x-5|) + C.$$

2) Интеграл $\int \arctan(2x) \, dx$:

Для этого интеграла мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям. Попробуем выбрать $u = \arctan(2x)$ и $dv = dx$, тогда получим:

$$du = \frac{2}{1 + (2x)^2} \, dx = \frac{2}{1 + 4x^2} \, dx, \quad v = x.$$

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

$$\int \arctan(2x) \, dx = x \arctan(2x) - \int x \left(\frac{2}{1 + 4x^2}\right) \, dx.$$

Интеграл $\int x \left(\frac{2}{1 + 4x^2}\right) \, dx$ можно вычислить, сделав замену переменной $u = 1 + 4x^2$:

$$\int \frac{2x}{1 + 4x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{2} \ln|u| + C = \frac{1}{2} \ln|1 + 4x^2| + C,$$

где $C$ - константа интегрирования.

Таким образом, окончательный ответ для второго интеграла:

$$\int \arctan(2x) \, dx = x \arctan(2x) - \frac{1}{2} \ln|1 + 4x^2| + C.$$