Question

Запишите уравнение касательной прямой к графику функции у=8√х -7 , что проходит через точку (1;3) и пересекает график функции z=x^2 +4х-1

Answer 1

Уравнение касательной: у(кас) = y'(xo)*(x - xo) + y(xo), где хо - абсцисса точки касания, y'(xo) - производная функции в точке касания.
Производная функции равна: y' = 4/√x, а точке касания y'(xo) = 4/√хо.
Вместо переменных х и у подставляем координаты точки (1; 3).
(4/√xo)*(1 - xo) + 8√xo - 7 = 3.
Приводим к общему знаменателю:
4 - 4xo + 8хо - 7√xo = 3√xo.
4 + 4xo = 10√xo или, сократив на 2:
2 + 2хо = 5√xo. Возведём в квадрат обе части уравнения:
4 + 8хо + 4хо² = 25хо.
Получили квадратное уравнение:
4хо² - 17хо + 4 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно xо: Ищем дискриминант:
D=(-17)^2-4*4*4=289-4*4*4=289-16*4=289-64=225;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
xо_1=(√225-(-17))/(2*4)=(15-(-17))/(2*4)=(15+17)/(2*4)=32/(2*4)=32/8=4;xо_2=(-√225-(-17))/(2*4)=(-15-(-17))/(2*4)=(-15+17)/(2*4)=2/(2*4)=2/8=1/4.
То есть имеем 2 точки касания х = 4  и х = 1/4.
Отсюда получаем 2 касательные:
у(кас) = 2х + 1  и у = 8х - 5.
Но вторая прямая не пересекает заданную по условию параболу, а только касается её, поэтому ответ: у(кас) = 2х + 1.

Answer 2

Для нахождения уравнения касательной прямой к графику функции y = 8√x - 7, которая проходит через точку (1, 3), нам нужно:

1. Найти производную данной функции.

2. Вычислить значение производной в точке (1, 3).

3. Использовать найденное значение производной и координаты точки (1, 3) для составления уравнения касательной прямой.

4. Найдем производную функции y = 8√x - 7:

y'(x) = d/dx [8√x - 7]

Для этого мы можем применить правило дифференцирования для корня и константы:

y'(x) = 4√x

2. Теперь вычислим значение производной в точке (1, 3):

y'(1) = 4√1 = 4

3. Теперь у нас есть значение производной (4) и координаты точки (1, 3). Используем их для составления уравнения касательной прямой в форме уравнения прямой y = mx + b, где m - наклон (значение производной), а b - y-координата точки, через которую проходит касательная:

Уравнение касательной прямой:

y = 4x + b

Чтобы найти b, подставим координаты точки (1, 3) в уравнение:

3 = 4(1) + b

3 = 4 + b

b = 3 - 4 b = -1

Итак, уравнение касательной прямой, проходящей через точку (1, 3) и пересекающей график функции z = x^2 + 4x - 1, имеет вид:

y = 4x - 1