Question

Есть четыре точки А1(-3,-5,-8), А2(-6,-8,2), А3(-1,9,-7), А4(-5,-6,3) Сложить уравнения: 1)плоскости А1,А2,А3; 2)прямой А1, А2; 3) прямой что проходит через точку А4; 4) прямой что проходит через точку А3 , параллельно к прямой что проходит через точки А1 и А4; 5)плоскости, что проходит через точку А4, перпендикулярно к прямой А1, А2; Вычислить: 1) кут между прямой А1, А4 и плоскостью А1, А2, А3 ; 2)угол между плоскостьями А1, А2, А3 и А1, А4, А3 3)объем пирамиды А1, А2, А3, А4 ОЧЕНЬ СРОЧНО НУЖНО СДЕЛАТЬ ВСЁЁЁЁ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1

Answer 1

$A_1(-3,-5,-8)\; ,\; A_2(-6,-8,2)\; ,\; A_3(-1,9,-7)\; ,\; A_4(-5,-6,3)\\\\1)\; \left|\begin{array}{ccc}x+3&y+5&z+8\\-3&-3&10\\2&14&1\end{array}\right|=-143(x+3)-23(y+5)-36(z+8)=0\\\\\\-143x-23y-36z-832=0\; \; \to \; \; \underline {143x+23y+36z+832=0}\\\\2)\; A_1A_2:\; \; \frac{x+3}{-3}=\frac{y+5}{-3}=\frac{z+8}{10}\\\\4)\; \; \; \overline {A_1A_4}=(-2,-1,11)\\\\A_1A_4:\; \; \frac{x+3}{-2}=\frac{y+5}{-1}=\frac{z+8}{11}\\\\5)\; \; \overline {A_1A_2}=(-3,-3,10)\; \; ,\; \; A_4\in \pi$

$\pi :\; \; -3(x+5)-3(y+5)+10(z-3)=0\\\\\pi :\; \; -3x-3y+10z-60=0\; ,\; \; \underline {3x+3y-10z+60=0}$

$6)\; \; \vec{s}=\overline {A_1A_4}=(-2,-1,11)\; ,\; \vec{n}_{\pi }=(143,23,36)\\\\sin \alpha =\frac{|(\vec{s}\cdot \vec{n})|}{|\vec{s}|\cdot |\vec{n}|}=\frac{|-2\cdot 143-1\cdot 23+11\cdot 36|}{\sqrt{2^2+1^2+11^2}\cdot \sqrt{143^2+23^2+36^2}}=\frac{|-273|}{\sqrt{126}\cdot \sqrt{22274}}=\frac{273}{2\sqrt{701631}}\\\\ \alpha =arcsin\frac{273}{2\sqrt{701631}}\\\\7)\; \; \vec{n}_{A_1A_4A_3}= \left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\-2&-1&11\\2&14&1\end{array}\right|=-155i+24j-26k$

$cos \beta =\frac{-155\cdot 143+24\cdot 23-26\cdot 36}{\sqrt{143^2+23^2+36^2}\cdot \sqrt{155^2+24^2+26^2}}=\frac{-22549} {\sqrt{22274}\cdot \sqrt{25277}}\\\\ \beta =\pi - arccos\frac{22549}{\sqrt{22274}\cdot \sqrt{25277}}\\\\\\8)\; \; (\overline {A_1A_2},\overline {A_1A_3},\overline {A_1A_4}})=\left|\begin{array}{ccc}-3&-3&10\\2&14&1\\-2&-1&11\end{array}\right|=\\\\\\=-3\cdot 155+3\cdot 24+10\cdot 26=-393\\\\V=|-393|=393$

Answer 2

1) Сложение уравнений плоскостей А1, А2, А3

Для сложения уравнений плоскостей А1, А2 и А3, мы можем использовать метод Гаусса-Жордана. Приведем уравнения плоскостей к каноническому виду и сложим их.

Уравнение плоскости А1: -3x - 5y - 8z = 0. Уравнение плоскости А2: -6x - 8y + 2z = 0. Уравнение плоскости А3: -x + 9y - 7z = 0.

Приведем уравнения к каноническому виду:

Уравнение плоскости А1: x/8 + y/5 + z/(-3) = 0. Уравнение плоскости А2: x/(-3) + y/(-4) + z/(-1) = 0. Уравнение плоскости А3: x/7 + y/(-9) + z/(-1) = 0.

Теперь сложим уравнения:

(x/8 + y/5 + z/(-3)) + (x/(-3) + y/(-4) + z/(-1)) + (x/7 + y/(-9) + z/(-1)) = 0

Упростим выражение:

(7x + 56y - 24z - 24x - 18y - 56z + 8x - 40y - 8z) / 168 = 0

(-9x - 2y - 88z) / 168 = 0

Умножим уравнение на 168, чтобы избавиться от знаменателя:

-9x - 2y - 88z = 0

Таким образом, уравнение плоскости, полученное сложением плоскостей А1, А2 и А3, имеет вид: -9x - 2y - 88z = 0.

2) Прямая, проходящая через точки А1 и А2

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через точки А1 и А2, мы можем использовать формулу двухточечного уравнения прямой.

Точка А1: (-3, -5, -8). Точка А2: (-6, -8, 2).

Формула двухточечного уравнения прямой:

((x - x1) / (x2 - x1)) = ((y - y1) / (y2 - y1)) = ((z - z1) / (z2 - z1))

Подставим значения точек А1 и А2 в формулу:

((x - (-3)) / (-6 - (-3))) = ((y - (-5)) / (-8 - (-5))) = ((z - (-8)) / (2 - (-8)))

Упростим выражение:

((x + 3) / (-3)) = ((y + 5) / (-3)) = ((z + 8) / 10)

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки А1 и А2, имеет вид: ((x + 3) / (-3)) = ((y + 5) / (-3)) = ((z + 8) / 10).

3) Прямая, проходящая через точку А4

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через точку А4, мы можем использовать формулу одноточечного уравнения прямой.

Точка А4: (-5, -6, 3).

Формула одноточечного уравнения прямой:

((x - x1) / a) = ((y - y1) / b) = ((z - z1) / c)

Подставим значения точки А4 в формулу:

((x - (-5)) / a) = ((y - (-6)) / b) = ((z - 3) / c)

Упростим выражение:

((x + 5) / a) = ((y + 6) / b) = ((z - 3) / c)

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку А4, имеет вид: ((x + 5) / a) = ((y + 6) / b) = ((z - 3) / c).

4) Прямая, проходящая через точку А3, параллельно к прямой, проходящей через точки А1 и А4

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через точку А3 и параллельной прямой, проходящей через точки А1 и А4, мы можем использовать свойство параллельности векторов.

Точка А3: (-1, 9, -7).

Вектор, задающий прямую, проходящую через точки А1 и А4: v1 = (-5 - (-3), -6 - (-5), 3 - (-8)) = (-2, -1, 11).

Вектор, параллельный искомой прямой: v2 = (-2, -1, 11).

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку А3 и параллельной прямой, проходящей через точки А1 и А4, имеет вид:

((x - (-1)) / (-2)) = ((y - 9) / (-1)) = ((z - (-7)) / 11).

5) Плоскость, проходящая через точку А4 и перпендикулярная к прямой А1, А2

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через точку А4 и перпендикулярной к прямой А1, А2, мы можем использовать свойство перпендикулярности векторов.

Точка А4: (-5, -6, 3).

Вектор, задающий прямую А1, А2: v = (-6 - (-3), -8 - (-5), 2 - (-8)) = (-3, -3, 10).

Вектор, перпендикулярный искомой плоскости: n = (-3, -3, 10).

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку А4 и перпендикулярной к прямой А1, А2, имеет вид:

-3(x - (-5)) - 3(y - (-6)) + 10(z - 3) = 0.

Упростим выражение:

-3x + 15 - 3y + 18 + 10z - 30 = 0.

-3x - 3y + 10z + 3 = 0.

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку А4 и перпендикулярной к прямой А1, А2, имеет вид: -3x - 3y + 10z + 3 = 0.

Вычисление:

1) Кут между прямой А1, А4 и плоскостью А1, А2, А3

Для вычисления угла между прямой А1, А4 и плоскостью А1, А2, А3, мы можем использовать формулу для