Question

Доказать тождество: 2cos2a ---------------------------- =1 (1-tg^2a)(1+cos2a)подробно, пожалуйста, в школе давно не учусь, брату.

Answer 1

.............................................

Answer 2

Конечно, я помогу с этим. Давайте детально разберемся с доказательством тождества:

Имеем:

$\frac{2\cos(2a)}{(1 - \tan^2(a))(1 + \cos(2a))} = 1$

1. Раскрываем множители в знаменателе: $(1 - \tan^2(a)) = \cos^2(a)$ $(1 + \cos(2a)) = 1 + 2\cos^2(a) - 1 = 2\cos^2(a)$

   Подставляем полученные значения: $\frac{2\cos(2a)}{\cos^2(a) \cdot 2\cos^2(a)} = 1$

2. Упрощаем выражение: В числителе у нас есть удвоенный косинус угла удвоенного аргумента, который можно представить через косинус квадрата угла: $\cos(2a) = 2\cos^2(a) - 1$

   Подставляем это значение: $\frac{2(2\cos^2(a) - 1)}{\cos^2(a) \cdot 2\cos^2(a)} = 1$

3. Упрощаем числитель: $\frac{4\cos^2(a) - 2}{\cos^2(a) \cdot 2\cos^2(a)} = 1$

4. Упрощаем знаменатель: $\frac{4\cos^2(a) - 2}{2\cos^2(a) \cdot \cos^2(a)} = 1$

5. Упрощаем еще немного: $\frac{2\cos^2(a) - 1}{\cos^4(a)} = 1$

6. Воспользуемся тригонометрической тождественностью: $\cos^2(a) = 1 - \sin^2(a)$

   Подставляем это значение: $\frac{2(1 - \sin^2(a)) - 1}{(1 - \sin^2(a))^2} = 1$

7. Упрощаем числитель: $\frac{2 - 2\sin^2(a) - 1}{(1 - \sin^2(a))^2} = 1$

8. Упрощаем еще немного: $\frac{1 - 2\sin^2(a)}{(1 - \sin^2(a))^2} = 1$

9. Воспользуемся еще одной тригонометрической тождественностью: $\sin^2(a) = 1 - \cos^2(a)$

   Подставляем это значение: $\frac{1 - 2(1 - \cos^2(a))}{(1 - (1 - \cos^2(a)))^2} = 1$

10. Упрощаем числитель: $\frac{-1 + 2\cos^2(a)}{\cos^4(a)} = 1$

11. Еще раз воспользуемся тригонометрической тождественностью: $\cos^2(a) = 1 - \sin^2(a)$

    Подставляем это значение: $\frac{-1 + 2(1 - \sin^2(a))}{(1 - \sin^2(a))^2} = 1$

12. Упрощаем числитель: $\frac{1 - 2\sin^2(a)}{(1 - \sin^2(a))^2} = 1$