Question

Доказать тождество: 2cos2a ---------------------------- =1 (1-tg^2a)(1+cos2a)

Answer 1

...................................

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны и постепенно преобразуем ее, используя тригонометрические тождества, чтобы получить правую сторону.

Исходное тождество: $\frac{2\cos^2a}{(1-\tan^2a)(1+\cos2a)} = 1$

Заменим $\tan^2a$ на $\frac{\sin^2a}{\cos^2a}$: $\frac{2\cos^2a}{(1-\frac{\sin^2a}{\cos^2a})(1+\cos2a)} = 1$

Далее, упростим знаменатель: $\frac{2\cos^2a}{(\frac{\cos^2a-\sin^2a}{\cos^2a})(1+\cos2a)} = 1$

Упростим дробь в знаменателе: $\frac{2\cos^2a}{(\frac{\cos^2a-\sin^2a}{\cos^2a})(1+\cos2a)} = 1$

Сократим $\cos^2a$ в знаменателе: $\frac{2\cos^2a}{(\cos^2a-\sin^2a)(1+\cos2a)} = 1$

Теперь применим тригонометрическое тождество $\cos^2a-\sin^2a = \cos2a$: $\frac{2\cos^2a}{\cos2a(1+\cos2a)} = 1$

Разделим числитель на знаменатель: $\frac{2\cos^2a}{\cos2a(1+\cos2a)} = 1$

Упростим дробь в числителе: $\frac{2\cos^2a}{\cos2a(1+\cos2a)} = 1$

Теперь, заменим $\cos2a$ на $2\cos^2a-1$: $\frac{2\cos^2a}{2\cos^2a(1+2\cos^2a-1)} = 1$

Упростим выражение: $\frac{2\cos^2a}{2\cos^2a(2\cos^2a)} = 1$

Теперь сократим $2\cos^2a$ в числителе и знаменателе: $\frac{1}{2\cos^2a} = 1$

Теперь, умножим обе стороны на $2\cos^2a$: $1 = 2\cos^2a$

И, наконец, поделим обе стороны на 2: $\frac{1}{2} = \cos^2a$

Теперь используем тригонометрическое тождество $\cos^2a = \frac{1+\cos2a}{2}$: $\frac{1}{2} = \frac{1+\cos2a}{2}$