Question

Интеграл cosx dx/2sinx-5

Answer 1

$\int\limits { \frac{cos(x)}{2sin(x)-5} } \, dx=\\|\ 2sin(x)-5= t\ |\\|\ 2cos(x)\ dx=dt\ |\\|\ dx= \frac{dt}{2cos(x)}\ \ \ \ \ |\\= \int\limits { \frac{dt}{2t} }= \frac{1}{2} \int\limits {t^{-1}} \, dt= \frac{1}{2} ln|t|= \frac{1}{2}ln|2sin(x)-5|+C$

Answer 2

Давайте вычислим интеграл:

∫(cos(x) dx) / (2sin(x) - 5)

Для начала проведем замену переменной:

u = 2sin(x) - 5

Теперь выразим dx через du:

du/dx = 2cos(x) dx = du / (2cos(x))

Теперь мы можем переписать наш интеграл в терминах переменной u:

∫(cos(x) dx) / (2sin(x) - 5) = ∫(1 / (2sin(x) - 5)) * (du / (2cos(x)))

Теперь разделим числитель и знаменатель:

∫(1 / (2sin(x) - 5)) * (du / (2cos(x))) = (1/4) ∫(1 / (sin(x) - 5/2)) * (1 / cos(x)) du

Теперь воспользуемся тригонометрической идентичностью:

sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Выразим sin(x) через cos(x):

sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x))

Теперь подставим это в наш интеграл:

(1/4) ∫(1 / (sqrt(1 - cos^2(x)) - 5/2)) * (1 / cos(x)) du

Теперь проведем замену переменной, чтобы упростить интеграл:

t = cos(x) dt = -sin(x) dx

Также, мы можем выразить sin(x) через cos(x) с помощью идентичности:

sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x)) = sqrt(1 - t^2)

Теперь наш интеграл станет:

(1/4) ∫(1 / (sqrt(1 - t^2) - 5/2)) * (-1 / t) dt

Теперь мы можем применить метод частичных дробей для интегрирования этой дроби. Разложим дробь на две части:

1 / (sqrt(1 - t^2) - 5/2) = A / (sqrt(1 - t^2) - 5/2) + B / (sqrt(1 - t^2) + 5/2)

Теперь найдем значения A и B:

A = (1 / (5/2)) = 2/5 B = -(1 / (5/2)) = -2/5

Теперь наш интеграл будет выглядеть следующим образом:

(1/4) ∫[(2/5) / (sqrt(1 - t^2) - 5/2) - (-2/5) / (sqrt(1 - t^2) + 5/2)] dt

(1/4) * (2/5) ∫[1 / (sqrt(1 - t^2) - 5/2)] dt - (1/4) * (-2/5) ∫[1 / (sqrt(1 - t^2) + 5/2)] dt

(1/10) ∫[1 / (sqrt(1 - t^2) - 5/2)] dt + (1/10) ∫[1 / (sqrt(1 - t^2) + 5/2)] dt

Теперь оба интеграла можно вычислить, используя арктангенс:

(1/10) * [ln|sqrt(1 - t^2) - 5/2| - ln|sqrt(1 - t^2) + 5/2|] + C

Теперь подставим обратно t = cos(x):

(1/10) * [ln|sqrt(1 - cos^2(x)) - 5/2| - ln|sqrt(1 - cos^2(x)) + 5/2|] + C

И это окончательный ответ на интеграл:

(1/10) * [ln|sqrt(1 - cos^2(x)) - 5/2| - ln|sqrt(1 - cos^2(x)) + 5/2|] + C