Question

Тема : прямая и плоскость в пространстве. Точка A(-1;4;3), B(3;6;2), C(2;-5;-3). Написать уравнение плоскости, проходящей через эти точки. Помогите, пожалуйста, сделать и обьяснить, как делать.

Answer 1

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA      y - yA       z - zA

xB - xA    yB - yA    zB - zA

xC - xA    yC - yA    zC - zA = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - (-1)       y - 4          z - 3

3 - (-1)       6 - 4           2 - 3

2 - (-1)      (-5) - 4      (-3) - 3 = 0

x - (-1)      y - 4       z - 3

  4               2          -1

   3            -9          -6 = 0

(x - (-1))*(2·(-6)-(-1)·(-9)) - (y - 4)*(4·(-6)-(-1)·3) + (z - 3)*(4·(-9)-2·3) = 0

(-21)x - (-1) + 21y - 4 + (-42)z - 3 = 0

 - 21x + 21y - 42z + 21 = 0

x - y + 2z - 1 = 0

Answer 2

Для того чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через заданные точки A(-1;4;3), B(3;6;2) и C(2;-5;-3) в трехмерном пространстве, мы можем воспользоваться уравнением плоскости в общем виде. Уравнение плоскости в трехмерном пространстве выглядит следующим образом:

Ax + By + Cz + D = 0

Где A, B и C - это коэффициенты, определяющие нормаль к плоскости, а D - свободный член.

Чтобы найти уравнение плоскости, нам нужно найти нормаль к этой плоскости. Нормаль можно найти как векторное произведение векторов, лежащих в плоскости. Для этого мы можем взять два вектора, образованных разницей координат между точками A и B, а также между точками A и C:

Вектор AB = (3 - (-1), 6 - 4, 2 - 3) = (4, 2, -1) Вектор AC = (2 - (-1), -5 - 4, -3 - 3) = (3, -9, -6)

Теперь найдем векторное произведение этих двух векторов:

Нормаль к плоскости N = AB x AC = i(2(-6) - (-1)(-9)) - j(4(-6) - (-1)(3)) + k(4(-9) - 2(-1)) N = i(-12 - 9) - j(-24 - 3) + k(-36 + 2) N = i(-21) - j(-27) + k(-34)

Теперь, когда у нас есть нормаль к плоскости, мы можем использовать точку A(-1;4;3), чтобы найти значение D в уравнении плоскости:

-21x - 27y - 34z + D = 0

Подставим координаты точки A в это уравнение:

-21(-1) - 27(4) - 34(3) + D = 0 21 - 108 - 102 + D = 0 -189 + D = 0 D = 189

Итак, уравнение плоскости, проходящей через точек A(-1;4;3), B(3;6;2) и C(2;-5;-3), будет выглядеть следующим образом:

-21x - 27y - 34z + 189 = 0

Это и есть уравнение плоскости, которая проходит через заданные точки.