Question

Найти максимальное значение функции y = x3 – 3x:

Answer 1

Y' = 3x² - 3 = 0
x² = 1
x₁ = -1
x₂ = 1

y(-1) = -1 + 3 = 2 - локальный максимум
y(1) = 1 - 3 = -2 - локальный минимум

при х стремящемся к бесконечности значение функции так же стремится к бесконечности, поэтому максимального значения нет (бесконечность), возможно в условии должно быть сказано на каком промежутке

Answer 2

Чтобы найти максимальное значение функции y = x^3 - 3x, нужно найти критические точки (точки, в которых производная функции равна нулю или не существует) и определить их природу. Максимальное значение будет находиться в точке, где функция имеет локальный максимум.

1. Начнем с вычисления производной функции y по x: y'(x) = d/dx (x^3 - 3x) = 3x^2 - 3.

2. Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю: 3x^2 - 3 = 0.

3. Решим это уравнение: 3x^2 = 3, x^2 = 1, x = ±1.

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 1 и x = -1.

4. Чтобы определить, является ли каждая из этих точек максимумом или минимумом, можно воспользоваться второй производной тестом. Для этого найдем вторую производную: y''(x) = d^2/dx^2 (x^3 - 3x) = 6x.

5. Теперь подставим x = 1 и x = -1 во вторую производную, чтобы определить природу каждой из точек:

   • Для x = 1: y''(1) = 6 * 1 = 6. Положительная вторая производная означает, что x = 1 - это локальный минимум.

   • Для x = -1: y''(-1) = 6 * (-1) = -6. Отрицательная вторая производная означает, что x = -1 - это локальный максимум.

Итак, максимальное значение функции y = x^3 - 3x достигается при x = -1. Теперь найдем значение функции в этой точке: y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2.

Таким образом, максимальное значение функции y = x^3 - 3x равно 2 и достигается при x = -1.