Question

До тех пор, пока дверь не откроется, используют разные ключи. Вероятность того, что дверь откроется первым ключом равна 0,3, а каждым следующим ключом 0,7. Сколько ключей потребуется для того, чтобы вероятность открытия двери была не менее 0,93?

Answer 1

Вероятность того что первым ключом дверь не откроется: 1-03=0,7
Того, что не откроется остальными: 1-0,7=0,3

Первый и второй ключи:
0,7*0,3=0,21
Третий ключ:
0,21*0,3=0,063

1-0,063=0,937
0,937>0,93

Ответ: 3 ключа.

Answer 2

Для решения этой задачи можно воспользоваться геометрической последовательностью, так как вероятность открытия двери при использовании каждого нового ключа составляет геометрическую последовательность.

Пусть p1 - вероятность открытия двери первым ключом (0,3), p2 - вероятность открытия двери вторым ключом (0,7), p3 - вероятность открытия двери третьим ключом и так далее. Мы хотим найти n, количество ключей, которые понадобятся для того, чтобы вероятность открытия двери была не менее 0,93.

Мы знаем, что:

p1 = 0,3 p2 = 0,7

Вероятность открытия двери на третий ключ (p3) будет равна:

p3 = p1 * p2 = 0,3 * 0,7 = 0,21

Аналогично, вероятность открытия двери на четвёртый ключ (p4) будет равна:

p4 = p1 * p2 * p3 = 0,3 * 0,7 * 0,21 ≈ 0,0441

И так далее. Вероятность открытия двери на n-й ключ (pn) будет равна:

pn = p1 * p2 * p3 * ... * pn-1

Мы хотим, чтобы вероятность открытия двери была не менее 0,93, поэтому мы можем записать уравнение:

p1 * p2 * p3 * ... * pn-1 ≥ 0,93

Теперь мы можем начать вычислять pn для различных значений n, пока не достигнем необходимой вероятности.

1. n = 1: p1 = 0,3 < 0,93

2. n = 2: p1 * p2 = 0,3 * 0,7 = 0,21 < 0,93

3. n = 3: p1 * p2 * p3 = 0,3 * 0,7 * 0,21 = 0,0441 < 0,93

4. n = 4: p1 * p2 * p3 * p4 = 0,3 * 0,7 * 0,21 * 0,0441 ≈ 0,0015483 < 0,93

И так далее. Мы видим, что при n = 4 вероятность всё равно недостаточно большая. Попробуем n = 5:

5. n = 5: p1 * p2 * p3 * p4 * p5 = 0,3 * 0,7 * 0,21 * 0,0441 * p5

Для вычисления p5 нужно продолжить умножать предыдущие значения:

p5 = p1 * p2 * p3 * p4 * p5 = 0,3 * 0,7 * 0,21 * 0,0441 * p5 ≈ 0,00046593

Теперь мы можем проверить, удовлетворяет ли это условию:

0,3 * 0,7 * 0,21 * 0,0441 * 0,00046593 ≈ 0,00000808 < 0,93

Таким образом, вероятность открытия двери пятым ключом тоже недостаточно велика. Для достижения вероятности не менее 0,93, потребуется использовать 6 ключей.