Question

Sin6x*sin2x=sin5x*sin3x SOS помогите пожалуйста

Answer 1

От произведения синусов перейдем к разности косинусов

$0.5(\cos 4x-\cos 8x)=0.5(\cos2x-\cos 8x)\\ \cos 4x=\cos 2x\\ 2\cos^22x-\cos 2x-1=0$

Решим уравнение как квадратное уравнение относительно cos2x

$D=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot2\cdot(-1)=9\\ \\ \cos 2x=\dfrac{1+3}{2\cdot 2}=1~~~\Rightarrow~~~ x=\pi n,n \in \mathbb{Z}\\ \\ \cos 2x=\dfrac{1-3}{2\cdot 2}=-0.5~~~\Rightarrow~~~ x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n,n \in \mathbb{Z}$

Answer 2

Для решения уравнения sin(6x) * sin(2x) = sin(5x) * sin(3x) мы можем использовать тригонометрические тождества и правила тригонометрии. Давайте разберемся с этим уравнением:

1. Сначала мы можем использовать тригонометрическое тождество sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ):

sin(6x) * (2sin(2x)cos(2x)) = sin(5x) * (3sin(x) - 4sin^3(x))

2. Далее, мы можем использовать формулу синуса для удвоенного угла: sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ), чтобы упростить выражение:

2sin(6x) * (sin(4x)) = sin(5x) * (3sin(x) - 4sin^3(x))

3. Теперь мы можем использовать формулу синуса для суммы углов sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B):

2sin(6x) * (sin(4x)) = sin(5x) * (3sin(x)cos(x) - 4sin^3(x))

4. Используем тождество sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ) еще раз:

2sin(6x) * (2sin(2x)cos(2x)) = sin(5x) * (3sin(x)cos(x) - 4sin^3(x))

5. Упростим выражения:

4sin(6x)sin(2x)cos(2x) = sin(5x)(3sin(x)cos(x) - 4sin^3(x))

6. Теперь у нас есть уравнение вида sin(A)sin(B) = sin(C)sin(D), которое можно разбить на два уравнения:

4sin(6x)sin(2x) = sin(5x)(3sin(x)cos(x) - 4sin^3(x))

7. Рассмотрим первое уравнение:

4sin(6x)sin(2x) = sin(5x)(3sin(x)cos(x) - 4sin^3(x))

Мы можем рассмотреть два случая: sin(6x) = 0 и sin(6x) ≠ 0.

a) Если sin(6x) = 0, то у нас есть:

sin(5x)(3sin(x)cos(x) - 4sin^3(x)) = 0

Это уравнение имеет три решения: sin(5x) = 0, sin(x) = 0 и 3sin(x)cos(x) - 4sin^3(x) = 0. Решениями будут x = 0, x = π, x = π/2 и x = 0 (или кратные π).

b) Если sin(6x) ≠ 0, то мы можем поделить обе стороны на sin(6x) и упростить уравнение:

4sin(2x) = 3sin(x)cos(x) - 4sin^3(x)

Теперь вы можете решить это уравнение численно, используя методы численного анализа или графически. Найденные решения будут также решениями исходного уравнения sin(6x) * sin(2x) = sin(5x) * sin(3x).