Question

Найти общее решение диф. уравнения 1-ого порядка.

Answer 1

Это дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенной относительно производной, однородное уравнение.

Пусть  $y=ux$, тогда по правилу дифференцирования произведения  $y'=u'x+u$, в результате чего должны получить уравнение с разделяющимися переменными.

$ux^2(u'x+u)=x^2+u^2x^2\\ \\ u'ux+u^2=1+u^2\\ \\ u'ux=1$
Получили уравнение с разделяющимися переменными.

$\displaystyle \frac{du}{dx}= \frac{1}{ux}~~~\Rightarrow~~~ \int udu=\int \frac{dx}{x} ~~~\Rightarrow~~~ \frac{u^2}{2}=\ln |x|-\ln |C| \\ \\ \ln \bigg|\frac{x}{C}\bigg|= \frac{u^2}{2} ~~~\Rightarrow~~~ x=Ce^{u^2/2}$

Возвращаясь к обратной замене, получим общий интеграл
                                                                     $\boxed{x=Ce^{y^2/2x^2}}$

Answer 2

Для нахождения общего решения дифференциального уравнения первого порядка необходимо знать само уравнение. Дифференциальные уравнения первого порядка имеют следующий общий вид:

dy/dx = f(x, y)

где y - искомая функция, x - независимая переменная, и f(x, y) - функция, зависящая от x и y.

Чтобы найти общее решение этого уравнения, вам нужно интегрировать обе стороны уравнения по отношению к переменным x и y, учитывая конкретное уравнение f(x, y). Решение будет выглядеть следующим образом:

∫dy = ∫f(x, y) dx

Затем производите интегрирование и упрощение для нахождения общего решения в зависимости от функции f(x, y). Если у вас есть конкретное уравнение, которое вы хотите решить, пожалуйста, предоставьте его, и я с удовольствием помогу вам найти его решение.