Question

Исследование на монотонность функции y=4x^2+4x-4 с подробным решением и рис.

Answer 1

График функции y=4x^2+4x-4 парабола ветвями вверх.

Определяем координаты её вершины.

Хо = -в/2а = -4/(2*4) = -1/2.

Уо = 4*(1/4)+4*(-1/2) - 4 = 1-2-4 = -5.

До вершины функция убывает, после - возрастает:

- убывает х ∈ (-∞; (-1/2)),

- возрастает х ∈ ((-1/2); +∞).

Answer 2

Для исследования на монотонность функции $y = 4x^2 + 4x - 4$ мы должны найти производную функции и проанализировать знак этой производной.

1. Найдем производную функции $y$: $y' = \frac{d}{dx}(4x^2 + 4x - 4)$

   Для вычисления производной мы используем правила дифференцирования. Для каждого члена функции:

   • Для $4x^2$ применяем правило степенной функции $d/dx(x^n) = nx^{n-1}$, получаем $8x$.
   • Для $4x$ применяем правило линейной функции $d/dx(ax) = a$, получаем $4$.
   • Для константы $-4$ производная равна $0$, так как производная константы равна нулю.

   Теперь соберем все части вместе: $y' = 8x + 4$

2. Теперь найдем точки, где производная равна нулю, чтобы определить экстремумы. Для этого решим уравнение $8x + 4 = 0$: $8x + 4 = 0$ $8x = -4$ $x = -\frac{1}{2}$

   Это единственная точка, где производная равна нулю.

3. Теперь определим знак производной в интервалах между точками, где производная равна нулю (левее и правее $-\frac{1}{2}$) и вне этих интервалов.

   • Выберем точку, например, $x = -1$ (меньше $-\frac{1}{2}$). Подставим $x = -1$ в производную: $y'(-1) = 8(-1) + 4 = -4$

   • Выберем точку, например, $x = 0$ (между $-\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$). Подставим $x = 0$ в производную: $y'(0) = 8(0) + 4 = 4$

   • Выберем точку, например, $x = 1$ (больше $\frac{1}{2}$). Подставим $x = 1$ в производную: $y'(1) = 8(1) + 4 = 12$

4. Теперь мы можем сделать вывод о монотонности функции $y = 4x^2 + 4x - 4$:

   • В интервале $(-\infty, -\frac{1}{2})$, производная $y'$ отрицательна ($y' < 0$), следовательно, функция убывает на этом интервале.
   • В интервале $(-1/2, \infty)$, производная $y'$ положительна ($y' > 0$), следовательно, функция возрастает на этом интервале.

Таким образом, функция $y = 4x^2 + 4x - 4$ убывает на интервале $(-\infty, -\frac{1}{2})$ и возрастает на интервале $(-1/2, \infty)$. Единственная точка экстремума находится в $x = -\frac{1}{2}$. Мы можем построить график функции, чтобы визуализировать этот результат.