Question

Помогите решить дифференциальное уравнение y'=2y/(x+1)

Answer 1

$\frac{dy}{dx}= \frac{2y}{x+1}$
$y'= \frac{2y}{x+1}$
$\frac{dy}{y}= \frac{2dx}{x+1}$
$\int\limits \frac{dy}{y}= \int\limits\frac{2dx}{x+1}$
$lny=2ln(x+1)+C$
$y=C(x+1)^2$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения, можно использовать метод разделения переменных. Чтобы это сделать, давайте перепишем уравнение:

dy/dx = 2y / (x + 1)

Теперь разделим переменные, перемещая все, что содержит y, на одну сторону уравнения, а все, что содержит x, на другую сторону:

dy / y = 2 dx / (x + 1)

Теперь проинтегрируем обе стороны:

∫(1/y) dy = ∫(2 / (x + 1)) dx

Интегралы можно взять следующим образом:

ln|y| = 2 * ln|x + 1| + C

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь давайте избавимся от натурального логарифма, применяя экспоненту к обеим сторонам уравнения:

|y| = e^(2 * ln|x + 1| + C)

Теперь используем свойство экспоненты, чтобы упростить выражение:

|y| = e^(ln|x + 1|^2 + C)

Так как e^(ln|x + 1|^2) = |x + 1|^2, то:

|y| = |x + 1|^2 * e^C

Следующим шагом учтем константу e^C как новую константу, которую мы обозначим как K:

|y| = K * |x + 1|^2

Теперь, чтобы получить окончательное решение, учтем абсолютное значение на левой стороне:

y = ± K * |x + 1|^2

Это общее решение дифференциального уравнения. Константу K можно определить из начальных условий, если они даны.