Question

Решите неравенство: [tex] \frac{(x-2)(2x+7}{4-x} \geq 0. [/tex] C полным пояснением пожалуйста

Answer 1

Дробные неравенства ВСЕГДА решаются одинаково.
1. Все переносим влево, справа 0
2. Приводим к общему знаменателю
3.Раскладываем на множители
4. Метод интервалов
Вам повезло, первые три пункта уже проделаны, начнем с 4.Метод интервалов. Суть, что каждый множитель (т.е. каждую скобочку) отедльно надо приравнять к 0 и найти иксы.
х-2=0        х=2
2х+7=0     х=-7/2=-3,5
4-х=0        х=4 (икс не может = 4 по ОДЗ, поэтому эту точку не закрашиваем)
Теперь рисуем числовую прямую и отмечаем эти точки (точки знаменателя всегда незакрашены, а числитель в зависимости от знака неравенства..у нас больше или РАВНО значит точки числителя закрашиваем)Теперь расставляем знаки интервалов. Справа налево. Подставляем любое число из саиого правого интервала (например, 100) в каждый множитель вместо х и смотрим какой знак + или - будет получаться.Потом эти знаки перемножаем. У нас получается + + и внизу - . При перемножении выходит минус. Остальные знаки на интервалах чередуем.
_________________________________  ⇒     
   +         -3,5      -       2       +        4    -
У нас больше 0, значит наши интервалы с плюсами
Ответ: xэ (-∞; -3,5] [2;4)

Answer 2

ОДЗ
4-x≠0
x≠4


x-2=0     2x+7=0
x=2         x=-3,5

       +                           ___                         +                   ___
___________-3,5 ____________2__________4____________

Ответ: (-∞;-3,5]U[2;4)

Answer 3

Для решения данного неравенства сначала найдем его нули, то есть значения x, при которых выражение в левой части становится равным нулю. Затем мы будем анализировать интервалы между этими нулями, чтобы определить, когда выражение больше или меньше нуля.

1. Найдем нули неравенства: (x - 2)(2x + 7)/(4 - x) = 0

   Нули будут при: x - 2 = 0 => x = 2 2x + 7 = 0 => 2x = -7 => x = -7/2 4 - x = 0 => x = 4

2. Теперь разделим весь числовой ряд на интервалы между этими нулями. Эти интервалы будут следующими: a) x < -7/2 b) -7/2 < x < 2 c) 2 < x < 4 d) x > 4

3. Определим знак выражения в каждом из этих интервалов.

   a) x < -7/2: Подставим x = -8 (значение меньше -7/2): (x - 2)(2x + 7)/(4 - x) = (-8 - 2)(2(-8) + 7)/(4 - (-8)) = (-10)(-16 + 7)/(4 + 8) = 10 * 9 / 12 = 90/12 = 15/2 > 0

   b) -7/2 < x < 2: Подставим x = 0 (значение между -7/2 и 2): (x - 2)(2x + 7)/(4 - x) = (0 - 2)(2(0) + 7)/(4 - 0) = (-2)(0 + 7)/4 = (-2)(7)/4 = -14/4 = -7/2 < 0

   c) 2 < x < 4: Подставим x = 3 (значение между 2 и 4): (x - 2)(2x + 7)/(4 - x) = (3 - 2)(2(3) + 7)/(4 - 3) = (1)(6 + 7)/(4 - 3) = 13/1 = 13 > 0

   d) x > 4: Подставим x = 5 (значение больше 4): (x - 2)(2x + 7)/(4 - x) = (5 - 2)(2(5) + 7)/(4 - 5) = (3)(10 + 7)/(4 - 5) = 3 * 17/(-1) = -51 < 0

Таким образом, неравенство (x - 2)(2x + 7)/(4 - x) ≥ 0 выполняется на интервалах: a) x < -7/2 c) 2 < x < 4

На остальных интервалах оно не выполняется.