Question

Найти промежутки возрастания и убывания функции y=2x^3+3x^2-12x-1

Answer 1

Чтобы находить промежутки возрастания и убывания нужно ВСЕГДА делать одну схему:
1. Взять производную
2. Разложить ее на множители
3. Сделать типо метод интервалов

y=2x³+3x²-12x-1

1. y'=6x²+6x-12
2. y'=6*(x²+x-2) Раскладываем на множители с помощью дискриминанта
D=1+8=9=3²
x1=(-1+3)/2=1
x2=(-1-3)/2=-2  
y'=6*(x-1)(x+2)
3.    ______________________⇒
           +     -2     -       1    +
Где + возрастает, где - убывает
Ответ: y возрастает при x э (-∞ ; -2) (1; +∞)
            y убывает при x э (-2; 1)

Answer 2

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции $y = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 1$, следует выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции $y$ по переменной $x$. Для этой функции производная будет:

   $y' = 6x^2 + 6x - 12$.

2. Решите уравнение $y' = 0$ для нахождения критических точек, то есть точек, в которых производная равна нулю:

   $6x^2 + 6x - 12 = 0$.

   Для упрощения уравнения, можно разделить обе стороны на 6:

   $x^2 + x - 2 = 0$.

   Теперь решите это квадратное уравнение:

   $(x + 2)(x - 1) = 0$.

   Получаем два корня: $x = -2$ и $x = 1$.

3. Теперь определите знак производной $y'$ в интервалах между критическими точками и за пределами них. Для этого можно взять по одной точке из каждого интервала и подставить их в производную $y'$. Проверьте знак $y'$ в следующих интервалах:

   a) $x < -2$: Выберите $x = -3$ (любое значение меньше -2), подставьте его в $y'$:

   $y'(-3) = 6(-3)^2 + 6(-3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 > 0$.

   Значит, производная положительна в этом интервале, что означает, что функция возрастает на интервале $(-∞, -2)$.

   b) $-2 < x < 1$: Выберите $x = 0$ (любое значение между -2 и 1), подставьте его в $y'$:

   $y'(0) = 6(0)^2 + 6(0) - 12 = -12 < 0$.

   Значит, производная отрицательна в этом интервале, что означает, что функция убывает на интервале $(-2, 1)$.

   c) $x > 1$: Выберите $x = 2$ (любое значение больше 1), подставьте его в $y'$:

   $y'(2) = 6(2)^2 + 6(2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 > 0$.

   Значит, производная положительна в этом интервале, что означает, что функция возрастает на интервале $(1, +∞)$.

Таким образом, промежутки возрастания и убывания функции $y = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 1$ следующие:

• Функция возрастает на интервале $(-∞, -2)$.
• Функция убывает на интервале $(-2, 1)$.
• Функция возрастает на интервале $(1, +∞)$.