Question

Найти наименьший период функций или доказать их непериодичность : y=sin³x.

Answer 1

Функция $f$ периодична $\leftrightarrow \exists T>0 : f(x + T) = f(x)$

$sin^3(x + T) = sin^3(x)$

$(sin(x)cos(T) + cos(x)sin(T))^3 = sin^3(x)$

$sin^3(x + T) - sin^3(x) = 0 \rightarrow (sin(x + T) - sin(x))(sin^2(x + T) + sin(x + T)sin(x) + sin^2(x)) = 0$

$sin(x + T) - sin(x) = 0 \leftrightarrow 2sin(\frac{T}{2})cos(\frac{2x + T}{2}) = 0$

$sin(\frac{T}{2}) = 0 \rightarrow T = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

$cos(\frac{2x + T}{2}) = 0 \rightarrow T = \pi + 2\pi m - 2x, m \in \mathbb{Z}$ не подходит, тк T в зависимости от x.

$sin^2(x + T) + sin(x + T)sin(x) + sin^2(x) = 0$

Тут аналогично, либо $T = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$, либо T в зависимости от x.

Ответ: $2\pi$

Answer 2

Функция $y = \sin^3(x)$ не является периодической.

Давайте рассмотрим это более подробно. Для того чтобы функция была периодической, должно существовать положительное число $P$, такое что для всех $x$, $x + P$ также принадлежит области определения функции и $f(x) = f(x + P)$.

Посмотрим на $y = \sin^3(x)$. Эта функция не имеет фиксированного периода $P$, потому что она не обладает повторяющимся характером на всей числовой оси. Вернее, она имеет периоды, но они не постоянны. График функции $y = \sin^3(x)$ представляет собой набор периодических участков, но период каждого из них различается. Таким образом, функция не обладает фиксированным периодом и не является периодической на всей числовой оси.

Для доказательства непериодичности можно также воспользоваться определением периодичности и показать, что не существует фиксированного положительного числа $P$, для которого бы выполнялось $f(x) = f(x + P)$ для всех $x$. В данном случае это не выполняется, так как периоды функции меняются от участка к участку.

Таким образом, функция $y = \sin^3(x)$ не является периодической на всей числовой оси.