Question

Применяя метод математической индукции доказать справедливость выражения 4^n-1 кратно 3

Answer 1

При n=1
4ⁿ-1=4¹-1=3 кратно 3

пусть при n=k
${4}^{k} - 1$
кратно трём

докажем, что
${4}^{k + 1} - 1$
кратно трём

Итак
домножим на 4
кратное трем выражение по предположению матиндукции
получим тоже кратное трем выражение:
$( {4}^{k} - 1) \cdot4 = \\ = {4}^{k + 1 } - 4 =( {4}^{k + 1} - 1 )- 3$
слева стоит кратное трем выражение, значит и справа тоже,

откуда следует, что
${4}^{k + 1} - 1$
кратно трём

Мы доказали , что при любом n€N

(4ⁿ-1 ) кратно 3

Answer 2

Для доказательства этого выражения с использованием метода математической индукции, мы должны сначала проверить базовый случай, а затем выполнить шаг индукции.

1. Базовый случай (n = 1): Для n = 1 у нас есть: 4^1 - 1 = 4 - 1 = 3 Это выражение является кратным 3.

2. Предположение индукции: Предположим, что для некоторого целого положительного числа k выполняется следующее: 4^k - 1 кратно 3.

3. Шаг индукции: Мы хотим доказать, что выражение верно для n = k + 1. Для этого мы можем воспользоваться предположением индукции:

   4^(k+1) - 1 = 4^k * 4 - 1

   Теперь, используя предположение индукции, заменяем 4^k - 1 на 3m (где m - некоторое целое число):

   4^(k+1) - 1 = 4^k * 4 - 1 = (3m + 1) * 4 - 1 = 12m + 4 - 1 = 12m + 3

   Таким образом, выражение 4^(k+1) - 1 можно записать как 12m + 3, что является кратным 3.

Таким образом, мы доказали справедливость выражения 4^n - 1 кратно 3 для всех натуральных чисел n с использованием метода математической индукции.