Question

Решить в целых числах уравнение -20x + 17y =2017

Answer 1

17y=2017+20x

y=(2017+20x)/17

2017=2006+11;

2006:17=118

20х=17х+3х

Значит

y=118+x+(11+3x)/17

у- целое, если   11+3x  кратно 17

Это означает, что

11+3х=17k,  k∈Z  (#)

3x=17k-11

так как 17k=15k+2k

-11=-9-2, то

x=5k-3+(2k-2)/3

x- целое, если 2k-2  кратно 3

2(k-1) кратно 3

Это означает, что

k - 1 = 3m,   m∈Z

то есть

k=3m + 1

Подставляем в (#)

11+3х=17(3m+1)

11+3x=51m+17

3x=51m+6

x=17m+2,  m∈ Z

Тогда

17y=2017+20·(17m+2)

17y=2017+20·17m+40

17y=17·20m+2057

y=20m+121, m∈Z

При m=0

x=2

y=(2017+40)/17=121

(121;2) - решение уравнения

При m=-1

x=-15

y=101

(-15;101) - решение уравнения

и т.д.

О т в е т. (17m+2; 20m+121), m∈Z

Answer 2

Для решения уравнения -20x + 17y = 2017 в целых числах, вы можете воспользоваться методом подбора целых чисел. Один из способов это сделать - использовать алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) коэффициентов a и b (в данном случае, -20 и 17).

Начнем с вычисления НОД(-20, 17):

1. НОД(-20, 17) = НОД(20, 17) (так как знак не влияет на НОД)
2. НОД(20, 17) = НОД(17, 3) (20 = 17 * 1 + 3)

Теперь мы видим, что НОД(17, 3) равен 1. Это означает, что у нас есть решение этого уравнения в целых числах.

Чтобы найти решение, мы можем использовать расширенный алгоритм Евклида:

1. Находим обратный коэффициент k для 17 по модулю 20. Это можно сделать с помощью расширенного алгоритма Евклида:

   НОД(17, 20) = 1 1 = 17*(-3) + 20*2

2. Теперь мы знаем, что k = -3, и можем найти решение:

   x = k * (2017 / НОД(-20, 17)) = -3 * (2017 / 1) = -6051 y = k * (2017 / НОД(-20, 17)) = -3 * (2017 / 1) = -6051

Таким образом, уравнение -20x + 17y = 2017 имеет решение в целых числах:

x = -6051 y = -6051