Question

Знайти для функції f(x)=5x^4-2x+3

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Определение. Пусть функция  

y

=

f

(

x

)

определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку  

x

0

. Дадим аргументу приращение  

Δ

x

такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции  

Δ

y

(при переходе от точки  

x

0

к точке  

x

0

+

Δ

x

) и составим отношение  

Δ

y

Δ

x

. Если существует предел этого отношения при  

Δ

x

→

0

, то указанный предел называют производной функции  

y

=

f

(

x

)

в точке  

x

0

и обозначают  

f

′

(

x

0

)

.

lim

Δ

x

→

0

 

Δ

y

Δ

x

=

f

′

(

x

0

)

Для обозначения производной часто используют символ y'. Отметим, что y' = f(x) - это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у = f(x).

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной:

k

=

f

′

(

a

)

Поскольку  

k

=

t

g

(

a

)

, то верно равенство  

f

′

(

a

)

=

t

g

(

a

)

.

А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция  

y

=

f

(

x

)

имеет производную в конкретной точке  

x

:

lim

Δ

x

→

0

 

Δ

y

Δ

x

=

f

′

(

x

)

Это означает, что около точки х выполняется приближенное равенство  

Δ

y

Δ

x

≈

f

′

(

x

)

, т.е.  

Δ

y

≈

f

′

(

x

)

⋅

Δ

x

. Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной в заданной точке х. Например, для функции  

y

=

x

2

справедливо приближенное равенство  

Δ

y

≈

2

x

⋅

Δ

x

. Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.

Сформулируем его.

Как найти производную функции у = f(x) ?

1. Зафиксировать значение  

x

, найти  

f

(

x

)

2. Дать аргументу  

x

приращение  

Δ

x

, перейти в новую точку  

x

+

Δ

x

, найти  

f

(

x

+

Δ

x

)

3. Найти приращение функции:  

Δ

y

=

f

(

x

+

Δ

x

)

−

f

(

x

)

4. Составить отношение  

Δ

y

Δ

x

5. Вычислить  

lim

Δ

x

→

0

 

Δ

y

Δ

x

 

Этот предел и есть производная функции в точке x.

Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).

Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f'(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.

Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство  

Δ

y

≈

f

′

(

x

)

⋅

Δ

x

. Если в этом равенстве  

Δ

x

устремить к нулю, то и  

Δ

y

будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.

Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

Еще один пример. Функция  

y

=

3

√

x

непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и  

f

′

(

0

)

Итак, мы познакомились с новым свойством функции — дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?

Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

Answer 2

Для знаходження деяких властивостей функції $f(x) = 5x^4 - 2x + 3$, можна виконати наступні кроки:

1. Знайдіть похідну функції $f(x)$. Похідна допоможе знайти точки екстремуму та визначити, де функція зростає або спада.
2. Знайдіть значення функції в критичних точках, які визначені за допомогою похідної.
3. Знайдіть інтервали, на яких функція зростає або спада, використовуючи властивості похідної.

Крок 1: Знайдення похідної $f'(x)$:

$f'(x) = \frac{d}{dx} (5x^4 - 2x + 3)$

Використовуючи правила диференціювання, отримаємо:

$f'(x) = 20x^3 - 2$

Крок 2: Знайдення критичних точок, де $f'(x) = 0$:

$20x^3 - 2 = 0$

$20x^3 = 2$

$x^3 = \frac{2}{20}$

$x^3 = \frac{1}{10}$

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{10}}$

$x \approx 0.4642$

Крок 3: Визначення інтервалів зростання та спадання функції:

Тепер давайте використовуємо знання про знаки похідної, щоб визначити інтервали, на яких функція зростає або спада.

• При $x < 0.4642$, $f'(x) < 0$, отже, функція $f(x)$ спадає на цьому інтервалі.
• При $x > 0.4642$, $f'(x) > 0$, отже, функція $f(x)$ зростає на цьому інтервалі.

Тепер ви можете знайти значення функції $f(x)$ у цих критичних точках, а також на інших інтервалах за вашим вибором.